Страница 177, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите число x по его логарифму:

43.22 a) $\log_2 x = \log_2 72 - \log_2 9;$

б) $\log_4 x = \log_4 2\sqrt{2} + \log_4 8\sqrt{8};$

в) $\log_7 x = \log_7 14 - \log_7 98;$

г) $\lg x = \lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125}.$

а) Дано уравнение $\log_2 x = \log_2 72 - \log_2 9$. Чтобы найти $x$, мы можем упростить правую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$. Применив это свойство, получаем:$\log_2 x = \log_2(\frac{72}{9})$.Вычисляем значение дроби в аргументе логарифма:$\frac{72}{9} = 8$.Таким образом, уравнение преобразуется к виду:$\log_2 x = \log_2 8$.Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, то равны и их аргументы. Следовательно, $x = 8$.Ответ: $8$.

б) Дано уравнение $\log_4 x = \log_4 2\sqrt{2} + \log_4 8\sqrt{8}$. Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$. Применяя это свойство к правой части уравнения, получаем:$\log_4 x = \log_4(2\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{8})$.Вычислим произведение в аргументе логарифма:$2\sqrt{2} \cdot 8\sqrt{8} = (2 \cdot 8) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}) = 16 \cdot \sqrt{2 \cdot 8} = 16 \cdot \sqrt{16} = 16 \cdot 4 = 64$.Уравнение принимает вид:$\log_4 x = \log_4 64$.Из равенства логарифмов с одинаковым основанием следует равенство их аргументов, поэтому $x = 64$.Ответ: $64$.

в) Дано уравнение $\log_7 x = \log_7 14 - \log_7 98$. Используем свойство разности логарифмов, как и в пункте а): $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$.$\log_7 x = \log_7(\frac{14}{98})$.Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на 14:$\frac{14}{98} = \frac{1}{7}$.Таким образом, получаем уравнение:$\log_7 x = \log_7(\frac{1}{7})$.Поскольку основания логарифмов равны, их аргументы также должны быть равны. Следовательно, $x = \frac{1}{7}$.Ответ: $\frac{1}{7}$.

г) Дано уравнение $\lg x = \lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125}$. Напомним, что $\lg$ — это десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.$\lg x = \lg(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{125})$.Вычислим произведение в аргументе:$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{125} = \frac{1}{8 \cdot 125} = \frac{1}{1000}$.Уравнение принимает вид:$\lg x = \lg(\frac{1}{1000})$.Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов, поэтому $x = \frac{1}{1000}$.Ответ: $\frac{1}{1000}$.

43.23 a) $log_{1/2} x = log_{1/2} 19 - log_{1/2} 38 + log_{1/2} 3;$

б) $log_{0.2} x = log_{0.2} 93 + log_{0.2} 4 - log_{0.2} 31;$

в) $log_{\sqrt{7}} x = 2 log_{\sqrt{7}} 4 - log_{\sqrt{7}} 2 + log_{\sqrt{7}} 5;$

г) $log_{1/3} x = log_{1/3} \frac{7}{9} + log_{1/3} 21 - 2 log_{1/3} 7.$

а) $ \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} 19 - \log_{\frac{1}{2}} 38 + \log_{\frac{1}{2}} 3 $

Для решения этого уравнения воспользуемся свойствами логарифмов: сумма логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $ и разность логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c}) $. Все логарифмы имеют одинаковое основание $ \frac{1}{2} $. Область допустимых значений для $ x $ — это $ x > 0 $.

Преобразуем правую часть уравнения, объединив все логарифмы в один:

$ \log_{\frac{1}{2}} 19 - \log_{\frac{1}{2}} 38 + \log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{19}{38}) + \log_{\frac{1}{2}} 3 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{19 \cdot 3}{38}) $

Выполним вычисления под знаком логарифма:

$ \frac{19 \cdot 3}{38} = \frac{57}{38} = \frac{3 \cdot 19}{2 \cdot 19} = \frac{3}{2} $

Таким образом, уравнение принимает вид:

$ \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} \frac{3}{2} $

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:

$ x = \frac{3}{2} $ или $ x = 1,5 $.

Это значение удовлетворяет условию $ x > 0 $.

Ответ: $ 1,5 $.

б) $ \log_{0,2} x = \log_{0,2} 93 + \log_{0,2} 4 - \log_{0,2} 31 $

Используем те же свойства логарифмов, что и в предыдущем задании, так как основание $ 0,2 $ одинаково для всех членов. Условие на $ x $: $ x > 0 $.

Объединим логарифмы в правой части уравнения:

$ \log_{0,2} 93 + \log_{0,2} 4 - \log_{0,2} 31 = \log_{0,2} (93 \cdot 4) - \log_{0,2} 31 = \log_{0,2} (\frac{93 \cdot 4}{31}) $

Вычислим выражение в скобках:

$ \frac{93 \cdot 4}{31} = \frac{3 \cdot 31 \cdot 4}{31} = 3 \cdot 4 = 12 $

Уравнение сводится к виду:

$ \log_{0,2} x = \log_{0,2} 12 $

Приравниваем аргументы логарифмов:

$ x = 12 $

Значение $ x = 12 $ больше нуля.

Ответ: $ 12 $.

в) $ \log_{\sqrt{7}} x = 2 \log_{\sqrt{7}} 4 - \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5 $

Здесь, помимо свойств суммы и разности логарифмов, мы используем свойство степени: $ n \log_a b = \log_a (b^n) $. Условие на $ x $: $ x > 0 $.

Сначала преобразуем член $ 2 \log_{\sqrt{7}} 4 $:

$ 2 \log_{\sqrt{7}} 4 = \log_{\sqrt{7}} (4^2) = \log_{\sqrt{7}} 16 $

Теперь подставим это в правую часть уравнения и объединим все логарифмы:

$ \log_{\sqrt{7}} 16 - \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5 = \log_{\sqrt{7}} (\frac{16}{2}) + \log_{\sqrt{7}} 5 = \log_{\sqrt{7}} (8 \cdot 5) = \log_{\sqrt{7}} 40 $

Получаем уравнение:

$ \log_{\sqrt{7}} x = \log_{\sqrt{7}} 40 $

Отсюда следует:

$ x = 40 $

Значение $ x = 40 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 40 $.

г) $ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 - 2 \log_{\frac{1}{3}} 7 $

Как и в предыдущем примере, используем свойства суммы, разности и степени логарифма. Условие на $ x $: $ x > 0 $.

Преобразуем последний член в правой части:

$ 2 \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} (7^2) = \log_{\frac{1}{3}} 49 $

Теперь объединим все логарифмы в правой части:

$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 - \log_{\frac{1}{3}} 49 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{\frac{7}{9} \cdot 21}{49}) $

Вычислим значение подлогарифмического выражения:

$ \frac{\frac{7}{9} \cdot 21}{49} = \frac{7 \cdot 21}{9 \cdot 49} = \frac{7 \cdot (3 \cdot 7)}{(3 \cdot 3) \cdot (7 \cdot 7)} = \frac{147}{441} = \frac{1}{3} $

Уравнение принимает вид:

$ \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} $

Следовательно:

$ x = \frac{1}{3} $

Это значение удовлетворяет условию $ x > 0 $.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

43.20 a) $log_3\left(2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{8}\right) - log_3\left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}\right);$

б) $log_{\sqrt{3}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{19}\right) + log_{\sqrt{3}}\left(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{19}\right);$

в) $log_{\frac{1}{3}}\left(2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}\right) + log_{\frac{1}{3}}\left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1};$

г) $log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}\right) + log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{5}{14}\pi\right).$

Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$.

$log_3(2 \tg\frac{\pi}{8}) - log_3(1 - \tg^2\frac{\pi}{8}) = log_3\left(\frac{2 \tg\frac{\pi}{8}}{1 - \tg^2\frac{\pi}{8}}\right)$.

Выражение в скобках является формулой тангенса двойного угла: $\tg(2\alpha) = \frac{2 \tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha}$. В нашем случае $\alpha = \frac{\pi}{8}$, следовательно, $2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, выражение упрощается до $log_3(\tg\frac{\pi}{4})$.

Так как $\tg\frac{\pi}{4} = 1$, получаем $log_3(1)$.

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

$log_3(1) = 0$.

Ответ: 0.

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\sqrt{3}}(\tg\frac{\pi}{19}) + log_{\sqrt{3}}(\ctg\frac{\pi}{19}) = log_{\sqrt{3}}(\tg\frac{\pi}{19} \cdot \ctg\frac{\pi}{19})$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$.

Выражение упрощается до $log_{\sqrt{3}}(1)$.

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

$log_{\sqrt{3}}(1) = 0$.

Ответ: 0.

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\frac{1}{3}}(2 \tg\frac{\pi}{6}) + log_{\frac{1}{3}}\left((1 - \tg^2\frac{\pi}{6})^{-1}\right) = log_{\frac{1}{3}}\left(2 \tg\frac{\pi}{6} \cdot (1 - \tg^2\frac{\pi}{6})^{-1}\right) = log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2 \tg\frac{\pi}{6}}{1 - \tg^2\frac{\pi}{6}}\right)$.

Выражение в скобках является формулой тангенса двойного угла для $\alpha = \frac{\pi}{6}$. Тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Выражение упрощается до $log_{\frac{1}{3}}(\tg\frac{\pi}{3})$.

Мы знаем, что $\tg\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Значит, нам нужно вычислить $log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{3})$.

Пусть $log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{3}) = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{3}$.

Представим обе части равенства как степени числа 3: $(3^{-1})^x = 3^{\frac{1}{2}}$, что равносильно $3^{-x} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Приравнивая показатели степени, получаем $-x = \frac{1}{2}$, откуда $x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$log_{\frac{1}{2}}(\tg\frac{\pi}{7}) + log_{\frac{1}{2}}(\tg\frac{5\pi}{14}) = log_{\frac{1}{2}}(\tg\frac{\pi}{7} \cdot \tg\frac{5\pi}{14})$.

Проверим, являются ли углы $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{5\pi}{14}$ дополнительными до $\frac{\pi}{2}$.

$\frac{\pi}{7} + \frac{5\pi}{14} = \frac{2\pi}{14} + \frac{5\pi}{14} = \frac{7\pi}{14} = \frac{\pi}{2}$.

Так как сумма углов равна $\frac{\pi}{2}$, мы можем использовать формулу приведения $\tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \ctg\alpha$.

$\tg\frac{5\pi}{14} = \tg(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \ctg\frac{\pi}{7}$.

Подставим это в наше выражение: $log_{\frac{1}{2}}(\tg\frac{\pi}{7} \cdot \ctg\frac{\pi}{7})$.

Используем тождество $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$, получаем $log_{\frac{1}{2}}(1)$.

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Ответ: 0.

43.24 a) $lg x = 2 lg 7 - 3 lg 3 + lg 8;$

б) $lg x = 2 lg 3 + lg 6 - \frac{1}{2} lg 9;$

в) $lg x = \frac{1}{2} lg 3 + \frac{2}{3} lg 5 - \frac{1}{3} lg 4;$

г) $lg x = -\frac{1}{2} lg 5 + lg \sqrt{5} + \frac{1}{4} lg 25.$

а)

Для решения уравнения $\lg x = 2\lg 7 - 3\lg 3 + \lg 8$ воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Применим свойство степени логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$ к правой части уравнения:

$2\lg 7 = \lg 7^2 = \lg 49$

$3\lg 3 = \lg 3^3 = \lg 27$

Подставим полученные значения в исходное уравнение:

$\lg x = \lg 49 - \lg 27 + \lg 8$

2. Теперь применим свойства суммы и разности логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

Сгруппируем слагаемые:

$\lg x = (\lg 49 + \lg 8) - \lg 27$

$\lg x = \lg(49 \cdot 8) - \lg 27$

$\lg x = \lg 392 - \lg 27$

$\lg x = \lg\left(\frac{392}{27}\right)$

3. Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны (основание 10), мы можем приравнять их аргументы:

$x = \frac{392}{27}$

Ответ: $x = \frac{392}{27}$

б)

Решим уравнение $\lg x = 2\lg 3 + \lg 6 - \frac{1}{2}\lg 9$.

1. Применим свойство степени логарифма $n\lg a = \lg a^n$:

$2\lg 3 = \lg 3^2 = \lg 9$

$\frac{1}{2}\lg 9 = \lg 9^{1/2} = \lg \sqrt{9} = \lg 3$

Подставим в уравнение:

$\lg x = \lg 9 + \lg 6 - \lg 3$

2. Используем свойства суммы и разности логарифмов:

$\lg x = \lg(9 \cdot 6) - \lg 3$

$\lg x = \lg 54 - \lg 3$

$\lg x = \lg\left(\frac{54}{3}\right)$

$\lg x = \lg 18$

3. Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = 18$

Ответ: $x = 18$

в)

Решим уравнение $\lg x = \frac{1}{2}\lg 3 + \frac{2}{3}\lg 5 - \frac{1}{3}\lg 4$.

1. Применим свойство степени логарифма $n\lg a = \lg a^n$:

$\frac{1}{2}\lg 3 = \lg 3^{1/2} = \lg \sqrt{3}$

$\frac{2}{3}\lg 5 = \lg 5^{2/3} = \lg \sqrt[3]{5^2} = \lg \sqrt[3]{25}$

$\frac{1}{3}\lg 4 = \lg 4^{1/3} = \lg \sqrt[3]{4}$

Подставим в уравнение:

$\lg x = \lg \sqrt{3} + \lg \sqrt[3]{25} - \lg \sqrt[3]{4}$

2. Используем свойства суммы и разности логарифмов:

$\lg x = \lg(\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{25}) - \lg \sqrt[3]{4}$

$\lg x = \lg\left(\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{4}}\right)$

3. Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = \frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{4}}$

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{4}}$

г)

Решим уравнение $\lg x = -\frac{1}{2}\lg 5 + \lg \sqrt{5} + \frac{1}{4}\lg 25$.

1. Упростим правую часть, используя свойства логарифмов. Заметим, что $\lg \sqrt{5} = \lg 5^{1/2} = \frac{1}{2}\lg 5$ и $\lg 25 = \lg 5^2 = 2\lg 5$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$\lg x = -\frac{1}{2}\lg 5 + \frac{1}{2}\lg 5 + \frac{1}{4}(2\lg 5)$

2. Упростим выражение:

Первые два слагаемых $-\frac{1}{2}\lg 5$ и $+\frac{1}{2}\lg 5$ взаимно уничтожаются.

$\lg x = \frac{1}{4}(2\lg 5)$

$\lg x = \frac{2}{4}\lg 5$

$\lg x = \frac{1}{2}\lg 5$

3. Применим свойство степени логарифма:

$\lg x = \lg 5^{1/2}$

$\lg x = \lg \sqrt{5}$

4. Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = \sqrt{5}$

Ответ: $x = \sqrt{5}$

43.21 a) $\log_4 \left(\sin \frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{3}\log_4 \left(\sin^3 \frac{13\pi}{6}\right) + \log_4 \left(\sin \frac{7\pi}{12}\right);$

б) $\frac{1}{2}\log_8 \left(\cos \frac{\pi}{8} - \sin \frac{\pi}{8}\right)^2 - \log_8 \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^{-1}.$

a) $ \log_{4}\left(\sin\frac{\pi}{12}\right) + \frac{1}{3}\log_{4}\left(\sin^3\frac{13\pi}{6}\right) + \log_{4}\left(\sin\frac{7\pi}{12}\right) $

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов и тригонометрические формулы.

1. Упростим второе слагаемое, используя свойство логарифма $ c \cdot \log_b a = \log_b a^c $:

$ \frac{1}{3}\log_{4}\left(\sin^3\frac{13\pi}{6}\right) = \log_{4}\left(\left(\sin^3\frac{13\pi}{6}\right)^{\frac{1}{3}}\right) = \log_{4}\left(\sin\frac{13\pi}{6}\right) $

2. Теперь выражение имеет вид:

$ \log_{4}\left(\sin\frac{\pi}{12}\right) + \log_{4}\left(\sin\frac{13\pi}{6}\right) + \log_{4}\left(\sin\frac{7\pi}{12}\right) $

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_b x + \log_b y + \log_b z = \log_b(x \cdot y \cdot z) $:

$ \log_{4}\left(\sin\frac{\pi}{12} \cdot \sin\frac{13\pi}{6} \cdot \sin\frac{7\pi}{12}\right) $

3. Вычислим значения синусов:

Используя периодичность синуса, $ \sin\frac{13\pi}{6} = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.

Используем формулу приведения $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha $:

$ \sin\frac{7\pi}{12} = \sin\left(\frac{6\pi + \pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \cos\frac{\pi}{12} $.

4. Подставим найденные значения в выражение под логарифмом:

$ \sin\frac{\pi}{12} \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos\frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left(\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12}\right) $

5. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, откуда $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $:

$ \frac{1}{2} \left(\sin\frac{\pi}{12} \cos\frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = \frac{1}{4} \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $

6. Исходное выражение сводится к вычислению логарифма:

$ \log_{4}\left(\frac{1}{8}\right) $

Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2: $ 4 = 2^2 $, $ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} $.

Используем формулу перехода к новому основанию $ \log_{b^k} a = \frac{1}{k} \log_b a $ и свойство $ \log_b a^p = p \log_b a $:

$ \log_{4}\left(\frac{1}{8}\right) = \log_{2^2}(2^{-3}) = \frac{-3}{2} \log_2 2 = -\frac{3}{2} = -1.5 $

Ответ: $ -1.5 $

б) $ \frac{1}{2}\log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}\right)^2 - \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)^{-1} $

1. Упростим каждое слагаемое, используя свойство логарифма $ \log_b a^c = c \log_b a $.

Для первого слагаемого:

$ \frac{1}{2}\log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \log_{8}\left|\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}\right| $

Так как угол $ \frac{\pi}{8} $ находится в интервале $ (0, \frac{\pi}{4}) $, то $ \cos\frac{\pi}{8} > \sin\frac{\pi}{8} $, следовательно, выражение $ \cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8} $ положительно. Модуль можно опустить:

$ \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}\right) $

Для второго слагаемого:

$ - \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)^{-1} = -(-1) \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right) = \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right) $

2. Исходное выражение примет вид суммы двух логарифмов:

$ \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}\right) + \log_{8}\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right) $

3. Применим свойство суммы логарифмов $ \log_b x + \log_b y = \log_b(xy) $:

$ \log_{8}\left(\left(\cos\frac{\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{8}\right)\left(\cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8}\right)\right) $

4. Упростим выражение в скобках, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ \cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} $

5. Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $:

$ \cos^2\frac{\pi}{8} - \sin^2\frac{\pi}{8} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

6. Исходное выражение сводится к вычислению логарифма:

$ \log_{8}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $

Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2: $ 8 = 2^3 $, $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{1/2}}{2^1} = 2^{1/2 - 1} = 2^{-1/2} $.

$ \log_{8}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \log_{2^3}(2^{-1/2}) = \frac{-1/2}{3} \log_2 2 = -\frac{1}{6} $

Ответ: $ -\frac{1}{6} $