Страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

42.3 Сравните числа:

а) $log_4 7$ и $log_4 23$;

б) $log_{\frac{2}{3}} 0,8$ и $log_{\frac{2}{3}} 1$;

в) $log_9 \sqrt{15}$ и $log_9 13$;

г) $log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7}$ и $log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.

а) Для сравнения чисел $\log_4 7$ и $\log_4 23$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_4 x$. Основание логарифма $a = 4$. Так как $a > 1$, эта функция является возрастающей на всей области определения. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $7$ и $23$.

Поскольку $7 < 23$, то из свойства возрастающей функции следует, что $\log_4 7 < \log_4 23$.

Ответ: $\log_4 7 < \log_4 23$.

б) Для сравнения чисел $\log_{\frac{2}{3}} 0,8$ и $\log_{\frac{2}{3}} 1$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{\frac{2}{3}} x$. Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < a < 1$, эта функция является убывающей на всей области определения. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним аргументы логарифмов: $0,8$ и $1$.

Поскольку $0,8 < 1$, то из свойства убывающей функции следует, что знак неравенства для значений логарифмов будет противоположным знаку неравенства для их аргументов. Таким образом, $\log_{\frac{2}{3}} 0,8 > \log_{\frac{2}{3}} 1$.

Ответ: $\log_{\frac{2}{3}} 0,8 > \log_{\frac{2}{3}} 1$.

в) Для сравнения чисел $\log_9 \sqrt{15}$ и $\log_9 13$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_9 x$. Основание логарифма $a = 9$. Так как $a > 1$, эта функция является возрастающей.

Сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{15}$ и $13$. Чтобы сравнить эти числа, возведем их в квадрат, так как оба числа положительны.

$(\sqrt{15})^2 = 15$

$13^2 = 169$

Так как $15 < 169$, то и $\sqrt{15} < 13$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием $9$ является возрастающей, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, $\log_9 \sqrt{15} < \log_9 13$.

Ответ: $\log_9 \sqrt{15} < \log_9 13$.

г) Для сравнения чисел $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7}$ и $\log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{\frac{1}{12}} x$. Основание логарифма $a = \frac{1}{12}$. Так как $0 < a < 1$, эта функция является убывающей.

Сравним аргументы логарифмов: $\frac{1}{7}$ и $\frac{2}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю $21$.

$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{3}{21}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21}$

Так как $3 < 14$, то $\frac{3}{21} < \frac{14}{21}$, а значит $\frac{1}{7} < \frac{2}{3}$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием $\frac{1}{12}$ является убывающей, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7} > \log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7} > \log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.

42.7 Исследуйте функцию на монотонность:

а) $y = \log_{2.6} x;$

б) $y = \log_{\frac{3}{4}} x;$

в) $y = \log_{\sqrt{5}} x;$

г) $y = \log_{0.9} x.$

Для исследования логарифмической функции вида $y = \log_a x$ на монотонность, необходимо проанализировать ее основание $a$. Область определения всех представленных функций — $x > 0$.

Свойство монотонности логарифмической функции:

• Если основание $a > 1$, то функция является строго возрастающей на всей области определения $(0; +\infty)$.
• Если $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей на всей области определения $(0; +\infty)$.

а) $y = \log_{2,6} x$

В данной функции основание логарифма $a = 2,6$.

Так как $a = 2,6 > 1$, то функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

б) $y = \log_{\frac{3}{4}} x$

В данной функции основание логарифма $a = \frac{3}{4}$.

Так как $a = \frac{3}{4} = 0,75$, и $0 < 0,75 < 1$, то функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

в) $y = \log_{\sqrt{5}} x$

В данной функции основание логарифма $a = \sqrt{5}$.

Оценим значение основания: поскольку $4 < 5$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, что означает $2 < \sqrt{5}$. Следовательно, основание $a = \sqrt{5} > 1$.

Так как основание больше 1, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

г) $y = \log_{0,9} x$

В данной функции основание логарифма $a = 0,9$.

Так как $0 < 0,9 < 1$, то функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

42.4 Сравните с единицей число:

a) $\log_3 41$;

б) $\log_{2.3} 0.1$;

в) $\log_{\frac{1}{7}} 2.6$;

г) $\log_{\sqrt{7}} 0.4$.

Для сравнения логарифма $\log_a b$ с единицей используется следующее правило, основанное на свойствах логарифмической функции $y = \log_a x$:

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей. Тогда, если аргумент $b > a$, то $\log_a b > \log_a a$, то есть $\log_a b > 1$. Если же $0 < b < a$, то $\log_a b < \log_a a$, то есть $\log_a b < 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Тогда, если аргумент $b > a$, то $\log_a b < \log_a a$, то есть $\log_a b < 1$. Если же $0 < b < a$, то $\log_a b > \log_a a$, то есть $\log_a b > 1$.

Применим это правило к каждому случаю.

а) Сравнить $\log_3 41$ с 1.

Основание логарифма $a = 3$, что больше 1 ($a > 1$). Следовательно, логарифмическая функция является возрастающей.

Сравним аргумент $b = 41$ с основанием $a = 3$.

Так как $41 > 3$, то для возрастающей функции выполняется неравенство $\log_3 41 > \log_3 3$.

Поскольку $\log_3 3 = 1$, получаем $\log_3 41 > 1$.

Ответ: $\log_3 41 > 1$.

б) Сравнить $\log_{2.3} 0.1$ с 1.

Основание логарифма $a = 2.3$, что больше 1 ($a > 1$). Следовательно, логарифмическая функция является возрастающей.

Сравним аргумент $b = 0.1$ с основанием $a = 2.3$.

Так как $0.1 < 2.3$, то для возрастающей функции выполняется неравенство $\log_{2.3} 0.1 < \log_{2.3} 2.3$.

Поскольку $\log_{2.3} 2.3 = 1$, получаем $\log_{2.3} 0.1 < 1$.

Ответ: $\log_{2.3} 0.1 < 1$.

в) Сравнить $\log_{\frac{1}{7}} 2.6$ с 1.

Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$, что меньше 1 ($0 < a < 1$). Следовательно, логарифмическая функция является убывающей.

Сравним аргумент $b = 2.6$ с основанием $a = \frac{1}{7}$.

Так как $2.6 > \frac{1}{7}$, то для убывающей функции выполняется неравенство с противоположным знаком: $\log_{\frac{1}{7}} 2.6 < \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7}$.

Поскольку $\log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7} = 1$, получаем $\log_{\frac{1}{7}} 2.6 < 1$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{7}} 2.6 < 1$.

г) Сравнить $\log_{\sqrt{7}} 0.4$ с 1.

Основание логарифма $a = \sqrt{7}$. Так как $7 > 1$, то и $\sqrt{7} > 1$ ($a > 1$). Следовательно, логарифмическая функция является возрастающей.

Сравним аргумент $b = 0.4$ с основанием $a = \sqrt{7}$.

Так как $0.4 < \sqrt{7}$ (поскольку $0.4^2=0.16$, а $(\sqrt{7})^2=7$), то для возрастающей функции выполняется неравенство $\log_{\sqrt{7}} 0.4 < \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}$.

Поскольку $\log_{\sqrt{7}} \sqrt{7} = 1$, получаем $\log_{\sqrt{7}} 0.4 < 1$.

Ответ: $\log_{\sqrt{7}} 0.4 < 1$.

42.1 Найдите значение логарифмической функции $y = \log_2 x$ в указанных точках:

a) $x_1 = 4, x_2 = 8, x_3 = 16;$

в) $x_1 = \frac{1}{8}, x_2 = \frac{1}{32}, x_3 = \frac{1}{128};$

б) $x_1 = \frac{2}{\sqrt{8}}, x_2 = \frac{4}{\sqrt{2}};$

г) $x_1 = \sqrt{32}, x_2 = 16 \sqrt{128}.$

Чтобы найти значение логарифмической функции $y = \log_2 x$ в указанных точках, нужно подставить значение $x$ в функцию и вычислить логарифм. Основная идея вычисления логарифма $\log_a b$ — найти такое число $c$, что $a^c = b$. Для этого мы будем представлять аргумент логарифма $x$ в виде степени с основанием 2. Будем использовать свойство логарифма: $\log_a (a^k) = k$.

а)

Для $x_1 = 4$: $y = \log_2 4$. Так как $4 = 2^2$, то $y = \log_2 (2^2) = 2$.
Для $x_2 = 8$: $y = \log_2 8$. Так как $8 = 2^3$, то $y = \log_2 (2^3) = 3$.
Для $x_3 = 16$: $y = \log_2 16$. Так как $16 = 2^4$, то $y = \log_2 (2^4) = 4$.
Ответ: 2; 3; 4.

б)

Для $x_1 = \frac{2}{\sqrt{8}}$: Сначала упростим выражение для $x_1$.
$x_1 = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Представим $x_1$ в виде степени с основанием 2: $x_1 = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2}$.
Тогда $y = \log_2(\frac{2}{\sqrt{8}}) = \log_2(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2}$.

Для $x_2 = \frac{4}{\sqrt{2}}$: Упростим выражение, представив числитель и знаменатель в виде степеней с основанием 2.
$x_2 = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2^2}{2^{1/2}} = 2^{2 - \frac{1}{2}} = 2^{3/2}$.
Тогда $y = \log_2(\frac{4}{\sqrt{2}}) = \log_2(2^{3/2}) = \frac{3}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$; $\frac{3}{2}$.

в)

Для $x_1 = \frac{1}{8}$: Представим $x_1$ в виде степени с основанием 2: $x_1 = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Тогда $y = \log_2(\frac{1}{8}) = \log_2(2^{-3}) = -3$.
Для $x_2 = \frac{1}{32}$: Представим $x_2$ в виде степени с основанием 2: $x_2 = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$.
Тогда $y = \log_2(\frac{1}{32}) = \log_2(2^{-5}) = -5$.
Для $x_3 = \frac{1}{128}$: Представим $x_3$ в виде степени с основанием 2: $x_3 = \frac{1}{2^7} = 2^{-7}$.
Тогда $y = \log_2(\frac{1}{128}) = \log_2(2^{-7}) = -7$.
Ответ: -3; -5; -7.

г)

Для $x_1 = \sqrt{32}$: Представим $x_1$ в виде степени с основанием 2.
$x_1 = \sqrt{32} = \sqrt{2^5} = (2^5)^{1/2} = 2^{5/2}$.
Тогда $y = \log_2(\sqrt{32}) = \log_2(2^{5/2}) = \frac{5}{2}$.

Для $x_2 = 16\sqrt{128}$: Представим множители в виде степеней с основанием 2.
$x_2 = 16 \cdot \sqrt{128} = 2^4 \cdot \sqrt{2^7} = 2^4 \cdot (2^7)^{1/2} = 2^4 \cdot 2^{7/2}$.
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:
$x_2 = 2^{4 + \frac{7}{2}} = 2^{\frac{8}{2} + \frac{7}{2}} = 2^{15/2}$.
Тогда $y = \log_2(16\sqrt{128}) = \log_2(2^{15/2}) = \frac{15}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$; $\frac{15}{2}$.

42.5 Расположите числа в порядке возрастания:

a) $ \log_2 0.7 $; $ \log_2 2.6 $; $ \log_2 0.1 $; $ \log_2 \frac{1}{6} $; $ \log_2 3.7 $;

б) $ \log_{0.3} 17 $; $ \log_{0.3} 2.7 $; $ \log_{0.3} \frac{1}{2} $; $ \log_{0.3} 3 $; $ \log_{0.3} \frac{2}{3} $.

а)

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо проанализировать свойства логарифмической функции $y = \log_a x$. В данном случае все логарифмы имеют одинаковое основание $a = 2$.

Так как основание логарифма $a = 2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение логарифма $\log_2 x$. Формально, если $x_1 < x_2$, то $\log_2 x_1 < \log_2 x_2$.

Следовательно, чтобы расположить данные логарифмы в порядке возрастания, нам нужно сравнить их аргументы и расположить их в порядке возрастания.

Аргументы логарифмов: $0,7$; $2,6$; $0,1$; $\frac{1}{6}$; $3,7$.

Для удобства сравнения, представим дробь $\frac{1}{6}$ в виде десятичной: $\frac{1}{6} \approx 0,167$.

Теперь расположим аргументы в порядке возрастания:$0,1 < \frac{1}{6} < 0,7 < 2,6 < 3,7$.

Поскольку функция $y = \log_2 x$ возрастающая, порядок для логарифмов будет таким же.

Ответ: $\log_2 0,1$; $\log_2 \frac{1}{6}$; $\log_2 0,7$; $\log_2 2,6$; $\log_2 3,7$.

б)

В этом случае все логарифмы имеют основание $a = 0,3$.

Так как основание логарифма $a = 0,3$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0,3} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение логарифма $\log_{0,3} x$. Формально, если $x_1 < x_2$, то $\log_{0,3} x_1 > \log_{0,3} x_2$.

Следовательно, чтобы расположить данные логарифмы в порядке возрастания, нам нужно сравнить их аргументы и расположить их в порядке убывания.

Аргументы логарифмов: $17$; $2,7$; $\frac{1}{2}$; $3$; $\frac{2}{3}$.

Для удобства сравнения, представим дроби в виде десятичных: $\frac{1}{2} = 0,5$; $\frac{2}{3} \approx 0,667$.

Теперь расположим аргументы в порядке убывания:$17 > 3 > 2,7 > \frac{2}{3} > \frac{1}{2}$.

Поскольку функция $y = \log_{0,3} x$ убывающая, порядок для логарифмов будет обратным порядку их аргументов. Таким образом, наименьшему значению логарифма соответствует наибольший аргумент.

Ответ: $\log_{0,3} 17$; $\log_{0,3} 3$; $\log_{0,3} 2,7$; $\log_{0,3} \frac{2}{3}$; $\log_{0,3} \frac{1}{2}$.

42.2 Постройте (схематично) график функции:

а) $y = \log_{\sqrt{3}} x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{\pi}} x;$

в) $y = \lg x;$

г) $y = \log_{0.2} x.$

Для построения графиков логарифмических функций вида $y = \log_a x$ необходимо проанализировать основание логарифма $a$.

• Если $a > 1$, функция возрастает.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает.

Все графики логарифмических функций проходят через точку $(1, 0)$, имеют область определения $x > 0$ и вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось $Oy$).

Рассмотрим функцию $y = \log_{\sqrt{3}} x$.

Основание логарифма $a = \sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $a > 1$. Следовательно, функция является возрастающей.

Найдем ключевые точки для построения графика:

• При $x=1$, $y = \log_{\sqrt{3}} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• При $x=\sqrt{3}$, $y = \log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 1$. Точка $(\sqrt{3}, 1)$.
• При $x=3$, $y = \log_{\sqrt{3}} 3 = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^2 = 2$. Точка $(3, 2)$.

Схематично график представляет собой кривую, которая проходит через точку $(1, 0)$, монотонно возрастает и стремится к $-\infty$ при $x$, стремящемся к $0$ справа. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = \log_{\sqrt{3}} x$ — это возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(\sqrt{3}, 1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

Рассмотрим функцию $y = \log_{\frac{1}{\pi}} x$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{\pi}$. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $a = \frac{1}{\pi} \approx 0.318$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Найдем ключевые точки для построения графика:

• При $x=1$, $y = \log_{\frac{1}{\pi}} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• При $x=\frac{1}{\pi}$, $y = \log_{\frac{1}{\pi}} \frac{1}{\pi} = 1$. Точка $(\frac{1}{\pi}, 1)$.
• При $x=\pi$, $y = \log_{\frac{1}{\pi}} \pi = \log_{\pi^{-1}} \pi = -1$. Точка $(\pi, -1)$.

Схематично график представляет собой кривую, которая проходит через точку $(1, 0)$, монотонно убывает и стремится к $+\infty$ при $x$, стремящемся к $0$ справа. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{\pi}} x$ — это убывающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(\frac{1}{\pi}, 1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

Рассмотрим функцию $y = \lg x$.

Это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $y = \log_{10} x$. Основание $a = 10$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.

Найдем ключевые точки для построения графика:

• При $x=1$, $y = \lg 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• При $x=10$, $y = \lg 10 = 1$. Точка $(10, 1)$.
• При $x=0.1$, $y = \lg 0.1 = \lg 10^{-1} = -1$. Точка $(0.1, -1)$.

Схематично график представляет собой возрастающую кривую, которая проходит через точку $(1, 0)$ и точку $(10, 1)$. График растет медленнее, чем график функции из пункта а), так как основание $10 > \sqrt{3}$.

Ответ: График функции $y = \lg x$ — это возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(10, 1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

Рассмотрим функцию $y = \log_{0.2} x$.

Основание логарифма $a = 0.2 = \frac{1}{5}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.

Найдем ключевые точки для построения графика:

• При $x=1$, $y = \log_{0.2} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• При $x=0.2$, $y = \log_{0.2} 0.2 = 1$. Точка $(0.2, 1)$.
• При $x=5$, $y = \log_{0.2} 5 = \log_{1/5} 5 = -1$. Точка $(5, -1)$.

Схематично график представляет собой убывающую кривую, которая проходит через точку $(1, 0)$, а также через точки $(0.2, 1)$ и $(5, -1)$. График стремится к $+\infty$ при $x \to 0^+$.

Ответ: График функции $y = \log_{0.2} x$ — это убывающая логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, 0)$, $(0.2, 1)$ и $(5, -1)$, с вертикальной асимптотой $x=0$.

42.6 Сравните числа:

a) $\log_3 4$ и $\sqrt[3]{9}$;

б) $\log_{0.5} 3$ и $\sin 3$;

в) $\log_2 5$ и $\sqrt[3]{7}$;

г) $\lg 0.2$ и $\cos 0.2$.

а) Сравним числа $\log_3 4$ и $\sqrt[3]{9}$.
Оценим каждое из этих чисел, сравнив их с числом 2.
Рассмотрим первое число $\log_3 4$. Сравним его с $2$. Представим $2$ в виде логарифма по основанию 3: $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$.Так как логарифмическая функция $y=\log_3 x$ с основанием $3 > 1$ является возрастающей, и $4 < 9$, то $\log_3 4 < \log_3 9$.Следовательно, $\log_3 4 < 2$.
Рассмотрим второе число $\sqrt[3]{9}$. Сравним его с $2$. Представим $2$ в виде корня третьей степени: $2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$.Так как функция $y=\sqrt[3]{x}$ является возрастающей, и $9 > 8$, то $\sqrt[3]{9} > \sqrt[3]{8}$.Следовательно, $\sqrt[3]{9} > 2$.
Мы получили, что $\log_3 4 < 2$ и $\sqrt[3]{9} > 2$. Отсюда следует, что $\log_3 4 < \sqrt[3]{9}$.
Ответ: $\log_3 4 < \sqrt[3]{9}$.

б) Сравним числа $\log_{0,5} 3$ и $\sin 3$.
Рассмотрим первое число $\log_{0,5} 3$. Основание логарифма $0,5$ удовлетворяет условию $0 < 0,5 < 1$, поэтому логарифмическая функция $y=\log_{0,5} x$ является убывающей.Так как $3 > 1$, то $\log_{0,5} 3 < \log_{0,5} 1$.Поскольку $\log_{0,5} 1 = 0$, то $\log_{0,5} 3 < 0$. То есть $\log_{0,5} 3$ — отрицательное число.
Рассмотрим второе число $\sin 3$. Аргумент функции синус (число 3) задан в радианах.Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получаем, что $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.Таким образом, выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$. Это означает, что угол в 3 радиана находится во второй координатной четверти, где значения синуса положительны.Следовательно, $\sin 3 > 0$.
Поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного числа, то $\log_{0,5} 3 < \sin 3$.
Ответ: $\log_{0,5} 3 < \sin 3$.

в) Сравним числа $\log_2 5$ и $\sqrt[3]{7}$.
Оценим каждое из этих чисел, сравнив их с числом 2.
Рассмотрим первое число $\log_2 5$. Сравним его с $2$. Представим $2$ в виде логарифма по основанию 2: $2 = \log_2 2^2 = \log_2 4$.Так как логарифмическая функция $y=\log_2 x$ с основанием $2 > 1$ является возрастающей, и $5 > 4$, то $\log_2 5 > \log_2 4$.Следовательно, $\log_2 5 > 2$.
Рассмотрим второе число $\sqrt[3]{7}$. Сравним его с $2$. Представим $2$ в виде корня третьей степени: $2 = \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{8}$.Так как функция $y=\sqrt[3]{x}$ является возрастающей, и $7 < 8$, то $\sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{8}$.Следовательно, $\sqrt[3]{7} < 2$.
Мы получили, что $\log_2 5 > 2$ и $\sqrt[3]{7} < 2$. Отсюда следует, что $\log_2 5 > \sqrt[3]{7}$.
Ответ: $\log_2 5 > \sqrt[3]{7}$.

г) Сравним числа $\lg 0,2$ и $\cos 0,2$.
Рассмотрим первое число $\lg 0,2$. Это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.Так как основание $10 > 1$, функция $y=\lg x$ является возрастающей.Поскольку $0,2 < 1$, то $\lg 0,2 < \lg 1$.Так как $\lg 1 = 0$, получаем $\lg 0,2 < 0$. То есть $\lg 0,2$ — отрицательное число.
Рассмотрим второе число $\cos 0,2$. Аргумент функции косинус (число 0,2) задан в радианах.Используя приближенное значение $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, получаем, что $0 < 0,2 < \frac{\pi}{2}$.Это означает, что угол в 0,2 радиана находится в первой координатной четверти, где значения косинуса положительны.Следовательно, $\cos 0,2 > 0$.
Поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного числа, то $\lg 0,2 < \cos 0,2$.
Ответ: $\lg 0,2 < \cos 0,2$.