Страница 164, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

40.32 a) $2^{x^2+2x-6} - 2^{7-2x-x^2} = 3,5$;

б) $3^{2x^2+x} = 26 + 3^{3-x-2x^2}$.

а) $2^{x^2 + 2x - 6} - 2^{7 - 2x - x^2} = 3.5$

Заметим, что показатели степеней связаны между собой. Если мы обозначим $A = x^2 + 2x - 6$, то второй показатель будет $7 - 2x - x^2 = 1 - (x^2 + 2x - 6) = 1 - A$.

Исходное уравнение можно переписать в виде:

$2^A - 2^{1-A} = 3.5$

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем:

$2^A - \frac{2^1}{2^A} = 3.5$

Введем замену переменной. Пусть $y = 2^A$. Так как основание степени больше 1, то $y > 0$.

Уравнение принимает вид:

$y - \frac{2}{y} = 3.5$

Представим 3.5 как дробь $\frac{7}{2}$ и умножим все уравнение на $2y$ (что допустимо, так как $y \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателей:

$2y \cdot y - 2y \cdot \frac{2}{y} = 2y \cdot \frac{7}{2}$

$2y^2 - 4 = 7y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2y^2 - 7y - 4 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Согласно условию $y > 0$, корень $y_2 = -0.5$ является посторонним. Таким образом, единственное решение — $y = 4$.

Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

$y = 2^A \Rightarrow 4 = 2^{x^2 + 2x - 6}$

$2^2 = 2^{x^2 + 2x - 6}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2 = x^2 + 2x - 6$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -8. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и -4.

Либо через дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$

Ответ: $x = -4; 2$.

б) $3^{2x^2 + x} = 26 + 3^{3 - x - 2x^2}$

Перенесем член с показательной функцией из правой части в левую:

$3^{2x^2 + x} - 3^{3 - x - 2x^2} = 26$

Заметим, что сумма показателей степеней равна $(2x^2 + x) + (3 - x - 2x^2) = 3$.

Пусть $A = 2x^2 + x$. Тогда второй показатель можно выразить как $3 - x - 2x^2 = 3 - (2x^2 + x) = 3 - A$.

Уравнение примет вид:

$3^A - 3^{3-A} = 26$

$3^A - \frac{3^3}{3^A} = 26$

$3^A - \frac{27}{3^A} = 26$

Введем замену переменной: $y = 3^A$. Поскольку $y$ — это значение показательной функции, $y > 0$.

Подставив $y$, получим уравнение:

$y - \frac{27}{y} = 26$

Умножим обе части на $y$ ($y \neq 0$):

$y^2 - 27 = 26y$

Перепишем в виде стандартного квадратного уравнения:

$y^2 - 26y - 27 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 26, а произведение -27. Корни: $y_1 = 27$ и $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому он является посторонним. Остается $y = 27$.

Выполним обратную замену:

$y = 3^A \Rightarrow 27 = 3^{2x^2 + x}$

$3^3 = 3^{2x^2 + x}$

Приравниваем показатели степеней:

$3 = 2x^2 + x$

$2x^2 + x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$

Ответ: $x = -1.5; 1$.

40.36 a) $\begin{cases} \sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{9^y} = 27, \\ 2^{2x+y} : 2^x = 64; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{6^{x-2y}} : \sqrt{6^x} = \frac{1}{6}, \\ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = \frac{1}{3}. \end{cases}$

Решим данную систему уравнений:

Рассмотрим первое уравнение. Преобразуем его, приведя все члены к основанию 3.

Левая часть: $\sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{9^y} = (3^{x-1})^{\frac{1}{2}} \cdot (3^{2y})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{x-1}{2}} \cdot 3^y$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим $3^{\frac{x-1}{2} + y}$.

Правая часть: $27 = 3^3$.

Таким образом, уравнение принимает вид $3^{\frac{x-1}{2} + y} = 3^3$. Приравнивая показатели, получаем:

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

Теперь рассмотрим второе уравнение: $2^{2x+y} : 2^x = 64$.

Используя свойство степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, преобразуем левую часть:

Представим правую часть как степень двойки: $64 = 2^6$.

Уравнение принимает вид $2^{x+y} = 2^6$. Приравнивая показатели, получаем:

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

Вычтем второе уравнение из первого:

Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение:

Решение системы: $(5; 1)$.

Ответ: $(5; 1)$

Решим данную систему уравнений:

Рассмотрим первое уравнение. Преобразуем его, приведя все члены к основанию 6.

Используя свойства степеней $\sqrt{a^b} = a^{\frac{b}{2}}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$, преобразуем левую часть:

Правая часть: $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.

Уравнение принимает вид $6^{-y} = 6^{-1}$. Приравнивая показатели, получаем:

Теперь рассмотрим второе уравнение: $(\frac{1}{3})^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = \frac{1}{3}$.

Преобразуем его, приведя все члены к основанию 3:

Уравнение принимает вид $3^{-2x+y} \cdot 3^{x-2y} = 3^{-1}$. По свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

Приравнивая показатели, получаем:

Мы уже нашли, что $y=1$. Подставим это значение в уравнение $x+y=1$:

Решение системы: $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$

40.33 a) $5^{2x^2 - 1} - 3 \cdot 5^{(x+1)(x+2)} = 2 \cdot 5^{6(x+1)};$

б) $3^{2x^2 - 1} - 3^{(x-1)(x+5)} = 2 \cdot 3^{8(x-1)}.$

a) $5^{2x^2 - 1} - 3 \cdot 5^{(x+1)(x+2)} = 2 \cdot 5^{6(x+1)}$

Сначала преобразуем показатели степеней в уравнении:

$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

$6(x+1) = 6x + 6$

Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:

$5^{2x^2 - 1} - 3 \cdot 5^{x^2 + 3x + 2} = 2 \cdot 5^{6x + 6}$

Разделим обе части уравнения на $5^{6x + 6}$, так как это выражение всегда положительно:

$\frac{5^{2x^2 - 1}}{5^{6x + 6}} - 3 \cdot \frac{5^{x^2 + 3x + 2}}{5^{6x + 6}} = 2$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$5^{(2x^2 - 1) - (6x + 6)} - 3 \cdot 5^{(x^2 + 3x + 2) - (6x + 6)} = 2$

$5^{2x^2 - 6x - 7} - 3 \cdot 5^{x^2 - 3x - 4} = 2$

Заметим, что показатель первой степени связан с показателем второй: $2x^2 - 6x - 7 = 2(x^2 - 3x - 4) + 8 - 7 = 2(x^2 - 3x - 4) + 1$.

Тогда $5^{2x^2 - 6x - 7} = 5^{2(x^2 - 3x - 4) + 1} = 5^1 \cdot (5^{x^2 - 3x - 4})^2 = 5 \cdot (5^{x^2 - 3x - 4})^2$.

Введем замену: пусть $y = 5^{x^2 - 3x - 4}$. Уравнение примет вид:

$5y^2 - 3y = 2$

$5y^2 - 3y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -0.4$

Так как $y = 5^{x^2 - 3x - 4}$ и показательная функция всегда положительна, корень $y_2 = -0.4$ является посторонним.

Вернемся к замене с $y_1 = 1$:

$5^{x^2 - 3x - 4} = 1$

Так как $a^0 = 1$, то $5^{x^2 - 3x - 4} = 5^0$.

Приравняем показатели степеней:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета: сумма корней равна $3$, произведение равно $-4$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $x = -1, x = 4$.

б) $3^{2x^2 - 1} - 3^{(x-1)(x+5)} = 2 \cdot 3^{8(x-1)}$

Упростим показатели степеней:

$(x-1)(x+5) = x^2 + 5x - x - 5 = x^2 + 4x - 5$

$8(x-1) = 8x - 8$

Подставим в уравнение:

$3^{2x^2 - 1} - 3^{x^2 + 4x - 5} = 2 \cdot 3^{8x - 8}$

Разделим обе части уравнения на $3^{8x - 8}$ (выражение всегда больше нуля):

$\frac{3^{2x^2 - 1}}{3^{8x - 8}} - \frac{3^{x^2 + 4x - 5}}{3^{8x - 8}} = 2$

$3^{(2x^2 - 1) - (8x - 8)} - 3^{(x^2 + 4x - 5) - (8x - 8)} = 2$

$3^{2x^2 - 8x + 7} - 3^{x^2 - 4x + 3} = 2$

Заметим, что показатель $2x^2 - 8x + 7 = 2(x^2 - 4x + 3) + 6 - 6 + 7 = 2(x^2 - 4x + 3) + 1$.

Следовательно, $3^{2x^2 - 8x + 7} = 3^{2(x^2 - 4x + 3) + 1} = 3^1 \cdot (3^{x^2 - 4x + 3})^2 = 3 \cdot (3^{x^2 - 4x + 3})^2$.

Произведем замену: пусть $y = 3^{x^2 - 4x + 3}$. Уравнение примет вид:

$3y^2 - y = 2$

$3y^2 - y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Поскольку $y = 3^{x^2 - 4x + 3} > 0$, корень $y_2 = -2/3$ является посторонним.

Возвращаемся к замене с $y_1 = 1$:

$3^{x^2 - 4x + 3} = 1$

$3^{x^2 - 4x + 3} = 3^0$

Приравниваем показатели:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а произведение равно $3$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Ответ: $x = 1, x = 3$.

40.37. a) $$\begin{cases} 2^{2x} + 2^x \cdot y = 10, \\ y^2 + y \cdot 2^x = 15; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 7^{2x} - 7^x \cdot y = 28, \\ y^2 - y \cdot 7^x = -12. \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2^{2x} + 2^x \cdot y = 10, \\ y^2 + y \cdot 2^x = 15; \end{cases} $$

Для решения системы введем замену переменных. Пусть $a = 2^x$ и $b = y$. Так как $2^x$ всегда положительно, то $a > 0$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} a^2 + ab = 10, \\ b^2 + ab = 15; \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$(a^2 + ab) + (b^2 + ab) = 10 + 15$

$a^2 + 2ab + b^2 = 25$

$(a+b)^2 = 25$

Отсюда следует, что $a+b = 5$ или $a+b = -5$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a+b=5$.

Вынесем $a$ за скобки в первом уравнении преобразованной системы: $a(a+b) = 10$.

Подставим значение $a+b=5$:

$a \cdot 5 = 10$

$a = 2$

Это значение удовлетворяет условию $a > 0$.

Теперь найдем $b$:

$b = 5 - a = 5 - 2 = 3$.

Вернемся к исходным переменным:

$a = 2^x \implies 2^x = 2 \implies x=1$.

$b = y \implies y=3$.

Таким образом, мы получили решение $(1; 3)$.

Случай 2: $a+b=-5$.

Аналогично подставляем в уравнение $a(a+b) = 10$:

$a \cdot (-5) = 10$

$a = -2$

Это значение не удовлетворяет условию $a > 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Проверим единственное найденное решение $(1; 3)$ подстановкой в исходную систему:

$2^{2 \cdot 1} + 2^1 \cdot 3 = 2^2 + 6 = 4+6 = 10$. (Верно)

$3^2 + 3 \cdot 2^1 = 9 + 6 = 15$. (Верно)

Ответ: $(1; 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 7^{2x} - 7^x \cdot y = 28, \\ y^2 - y \cdot 7^x = -12; \end{cases} $$

Введем замену переменных. Пусть $a = 7^x$ и $b = y$. Так как $7^x$ всегда положительно, то $a > 0$.

Система примет вид:

$$ \begin{cases} a^2 - ab = 28, \\ b^2 - ab = -12; \end{cases} $$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$$ \begin{cases} a(a - b) = 28, \\ b(b - a) = -12; \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на $-1$:

$b(a - b) = 12$.

Теперь система выглядит так:

$$ \begin{cases} a(a - b) = 28, \\ b(a - b) = 12; \end{cases} $$

Поскольку правые части не равны нулю, то $a-b \neq 0$. Разделим первое уравнение на второе:

$\frac{a(a-b)}{b(a-b)} = \frac{28}{12}$

$\frac{a}{b} = \frac{7}{3}$, откуда $a = \frac{7}{3}b$.

Подставим это выражение во второе уравнение $b(a-b) = 12$:

$b(\frac{7}{3}b - b) = 12$

$b(\frac{4}{3}b) = 12$

$\frac{4}{3}b^2 = 12$

$b^2 = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9$

Отсюда $b=3$ или $b=-3$.

Случай 1: $b=3$.

$a = \frac{7}{3}b = \frac{7}{3} \cdot 3 = 7$.

Значение $a=7$ удовлетворяет условию $a > 0$.

Вернемся к исходным переменным:

$a = 7^x \implies 7^x = 7 \implies x=1$.

$b = y \implies y=3$.

Получили решение $(1; 3)$.

Случай 2: $b=-3$.

$a = \frac{7}{3}b = \frac{7}{3} \cdot (-3) = -7$.

Это значение не удовлетворяет условию $a > 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Проверим единственное найденное решение $(1; 3)$ подстановкой в исходную систему:

$7^{2 \cdot 1} - 7^1 \cdot 3 = 49 - 21 = 28$. (Верно)

$3^2 - 3 \cdot 7^1 = 9 - 21 = -12$. (Верно)

Ответ: $(1; 3)$.

Решите систему уравнений:

40.34 a) $\begin{cases} 2^{x+y} = 16, \\ 3^y = 27^x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0.5^{3x} \cdot 0.5^y = 0.5, \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 5^{2x-y} = 125, \\ 4^{x-y} = 4; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 0.6^{x+y} \cdot 0.6^x = 0.6, \\ 10^x \cdot 10^y = (0.01)^{-1}. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2^{x+y} = 16, \\ 3^y = 27^x; \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Так как $16 = 2^4$, мы можем приравнять показатели степеней с одинаковым основанием 2:

$2^{x+y} = 2^4 \implies x+y = 4$

Преобразуем второе уравнение. Так как $27 = 3^3$, мы можем записать его как:

$3^y = (3^3)^x$

$3^y = 3^{3x}$

Приравнивая показатели степеней с одинаковым основанием 3, получаем:

$y = 3x$

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 4, \\ y = 3x. \end{cases} $$

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x + (3x) = 4$

$4x = 4$

$x = 1$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:

$y = 3 \cdot 1 = 3$

Ответ: $(1; 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 0.5^{3x} \cdot 0.5^y = 0.5, \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32; \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$0.5^{3x+y} = 0.5^1$

Приравнивая показатели, получаем:

$3x+y = 1$

Преобразуем второе уравнение. Так как $32 = 2^5$, получаем:

$2^{3x-y} = 2^5$

Приравнивая показатели, получаем:

$3x-y = 5$

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 3x+y = 1, \\ 3x-y = 5. \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $y$:

$(3x+y) + (3x-y) = 1 + 5$

$6x = 6$

$x = 1$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение ($3x+y=1$):

$3(1) + y = 1$

$3 + y = 1$

$y = 1 - 3 = -2$

Ответ: $(1; -2)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5^{2x-y} = 125, \\ 4^{x-y} = 4; \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Так как $125 = 5^3$, получаем:

$5^{2x-y} = 5^3$

$2x-y = 3$

Преобразуем второе уравнение. Так как $4 = 4^1$, получаем:

$4^{x-y} = 4^1$

$x-y = 1$

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x-y = 3, \\ x-y = 1. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $y$:

$(2x-y) - (x-y) = 3 - 1$

$2x - y - x + y = 2$

$x = 2$

Подставим значение $x$ во второе уравнение ($x-y=1$):

$2 - y = 1$

$-y = 1 - 2$

$-y = -1$

$y = 1$

Ответ: $(2; 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 0.6^{x+y} \cdot 0.6^x = 0.6, \\ 10^x \cdot 10^y = (0.01)^{-1}. \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$0.6^{(x+y)+x} = 0.6^1$

$0.6^{2x+y} = 0.6^1$

$2x+y = 1$

Преобразуем второе уравнение. В левой части используем то же свойство степеней, а в правой части выполним преобразование:

$(0.01)^{-1} = (\frac{1}{100})^{-1} = 100 = 10^2$

Тогда уравнение принимает вид:

$10^{x+y} = 10^2$

$x+y = 2$

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x+y = 1, \\ x+y = 2. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(2x+y) - (x+y) = 1 - 2$

$2x + y - x - y = -1$

$x = -1$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение ($x+y=2$):

$-1 + y = 2$

$y = 2 + 1 = 3$

Ответ: $(-1; 3)$.

40.38 Найдите, при каких значениях параметра $a$ показательное уравнение имеет корни:

а) $2^x = a$;

б) $8^{3x + 1} = a + 3$;

в) $\sqrt[3]{3^x} = -a$;

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = a^2$.

а)

Дано показательное уравнение $2^x = a$. Левая часть уравнения, $2^x$, представляет собой показательную функцию. Область значений любой показательной функции вида $y = b^x$ (где $b > 0$, $b \neq 1$) — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $y \in (0, +\infty)$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело хотя бы один корень, правая часть уравнения, параметр $a$, должна принимать значения из этой области. Таким образом, условие существования корней: $a > 0$.

Ответ: $a \in (0, +\infty)$.

б)

Дано показательное уравнение $8^{3x+1} = a + 3$. Левая часть уравнения, $8^{3x+1}$, является показательной функцией. Независимо от выражения в показателе степени (в данном случае $3x+1$, которое может принимать любое действительное значение), значение показательной функции всегда будет строго положительным. Область значений функции $y = 8^{3x+1}$ есть интервал $(0, +\infty)$. Для того чтобы уравнение имело корни, его правая часть должна быть строго положительной. Получаем неравенство: $a + 3 > 0$. Решая его, находим: $a > -3$.

Ответ: $a \in (-3, +\infty)$.

в)

Дано уравнение $\sqrt[3]{3^x} = -a$. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство степеней: $\sqrt[3]{3^x} = (3^x)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{x}{3}}$. Уравнение принимает вид: $3^{\frac{x}{3}} = -a$. Левая часть, $3^{\frac{x}{3}}$, — это показательная функция, область значений которой — все положительные числа, то есть $(0, +\infty)$. Следовательно, правая часть уравнения, $-a$, должна быть строго положительной. Запишем и решим неравенство: $-a > 0$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим: $a < 0$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0)$.

г)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{2})^x = a^2$. Левая часть уравнения, $(\frac{1}{2})^x$, является показательной функцией. Ее область значений — это множество всех положительных действительных чисел, то есть $(0, +\infty)$. Для существования корней правая часть уравнения, $a^2$, должна быть строго положительной: $a^2 > 0$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $a^2 \ge 0$. Условие $a^2 > 0$ будет выполняться для всех действительных значений $a$, за исключением случая, когда $a^2 = 0$. $a^2 = 0$ только при $a = 0$. Следовательно, уравнение имеет корни при всех значениях $a$, кроме $a=0$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

40.35 a) $\left\{ \begin{array}{l} (\sqrt{3})^{x+2y} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{27}, \\ 0,1^x \cdot 10^{3y} = 10; \end{array} \right.$

б) $\left\{ \begin{array}{l} 27^y \cdot 3^x = 1, \\ \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot 4^y = 2; \end{array} \right.$

в) $\left\{ \begin{array}{l} (\sqrt{5})^{2x+y} = \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5}, \\ \left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 5^y = 125; \end{array} \right.$

г) $\left\{ \begin{array}{l} 5^y \cdot 25^x = 625, \\ \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot 9^y = \frac{1}{27}. \end{array} \right.$

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} (\sqrt{3})^{x+2y} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \\ 0,1^x \cdot 10^{3y} = 10 \end{cases}$

Упростим первое уравнение. Правая часть равна $\sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$. Так как $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ и $9 = 3^2$, уравнение принимает вид:

$(3^{1/2})^{x+2y} = 3^2$

$3^{\frac{x+2y}{2}} = 3^2$

Приравнивая показатели степени, получаем: $\frac{x+2y}{2} = 2$, или $x+2y = 4$.

Упростим второе уравнение. Так как $0,1 = 10^{-1}$, уравнение принимает вид:

$(10^{-1})^x \cdot 10^{3y} = 10^1$

$10^{-x+3y} = 10^1$

Приравнивая показатели степени, получаем: $-x+3y = 1$.

Теперь у нас есть система линейных уравнений:

$\begin{cases} x+2y = 4 \\ -x+3y = 1 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $5y = 5$, откуда $y = 1$. Подставив $y=1$ в первое уравнение, найдем $x$: $x + 2(1) = 4$, откуда $x = 2$.

Ответ: $(2; 1)$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 27^y \cdot 3^x = 1 \\ (\frac{1}{2})^x \cdot 4^y = 2 \end{cases}$

Преобразуем оба уравнения, приведя их к одному основанию. Для первого уравнения используем основание 3: $27 = 3^3$ и $1 = 3^0$.

$(3^3)^y \cdot 3^x = 3^0$

$3^{3y+x} = 3^0$

Отсюда получаем первое линейное уравнение: $x+3y=0$.

Для второго уравнения используем основание 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$.

$(2^{-1})^x \cdot (2^2)^y = 2^1$

$2^{-x+2y} = 2^1$

Отсюда получаем второе линейное уравнение: $-x+2y=1$.

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} x+3y = 0 \\ -x+2y = 1 \end{cases}$

Сложив уравнения, получим: $5y = 1$, откуда $y = \frac{1}{5}$. Подставим это значение в первое уравнение: $x + 3(\frac{1}{5}) = 0$, откуда $x = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $(-\frac{3}{5}; \frac{1}{5})$.

в) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} (\sqrt{5})^{2x+y} = \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} \\ (\frac{1}{5})^x \cdot 5^y = 125 \end{cases}$

Упростим первое уравнение. Правая часть: $\sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot 5} = \sqrt{1} = 1$. Так как $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ и $1=5^0$, уравнение принимает вид:

$(5^{1/2})^{2x+y} = 5^0$

$5^{\frac{2x+y}{2}} = 5^0$

Отсюда следует, что $\frac{2x+y}{2} = 0$, или $2x+y=0$.

Упростим второе уравнение. Так как $\frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $125=5^3$, уравнение принимает вид:

$(5^{-1})^x \cdot 5^y = 5^3$

$5^{-x+y} = 5^3$

Отсюда следует, что $-x+y=3$.

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2x+y = 0 \\ -x+y = 3 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого: $(2x+y) - (-x+y) = 0 - 3$, что дает $3x = -3$, откуда $x = -1$. Подставим $x=-1$ в первое уравнение: $2(-1)+y=0$, откуда $y=2$.

Ответ: $(-1; 2)$.

г) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 5^y \cdot 25^x = 625 \\ (\frac{1}{3})^x \cdot 9^y = \frac{1}{27} \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение к основанию 5. Так как $25 = 5^2$ и $625 = 5^4$, получаем:

$5^y \cdot (5^2)^x = 5^4$

$5^{y+2x} = 5^4$

Отсюда получаем первое линейное уравнение: $2x+y=4$.

Преобразуем второе уравнение к основанию 3. Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, $9 = 3^2$ и $\frac{1}{27} = 3^{-3}$, получаем:

$(3^{-1})^x \cdot (3^2)^y = 3^{-3}$

$3^{-x+2y} = 3^{-3}$

Отсюда получаем второе линейное уравнение: $-x+2y=-3$.

Получили систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 2x+y = 4 \\ -x+2y = -3 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 4-2x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$-x + 2(4-2x) = -3$

$-x + 8 - 4x = -3$

$-5x = -11 \implies x = \frac{11}{5}$

Теперь найдем $y$: $y = 4 - 2(\frac{11}{5}) = \frac{20}{5} - \frac{22}{5} = -\frac{2}{5}$.

Ответ: $(\frac{11}{5}; -\frac{2}{5})$.

14. Приведите пример какой-нибудь сходящейся последовательности и укажите любую её нижнюю и любую её верхнюю границу.

В качестве примера сходящейся последовательности можно рассмотреть последовательность, общий член которой задаётся формулой $x_n = \frac{1}{n}$ для всех натуральных чисел $n \ge 1$.

Эта последовательность является сходящейся, потому что её члены стремятся к определённому конечному числу при неограниченном возрастании $n$. Это число называется пределом последовательности. Для нашей последовательности предел равен:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
Так как предел существует и является конечным числом, последовательность сходится.

Теперь необходимо указать любую нижнюю и любую верхнюю границу для этой последовательности.
Нижняя граница — это любое число, которое не больше ни одного из членов последовательности. Все члены последовательности $x_n = \frac{1}{n}$ положительны (так как $n$ — натуральное число), то есть $x_n > 0$ для всех $n$. Это означает, что число 0 меньше любого члена последовательности. Следовательно, 0 является нижней границей. Любое число, меньшее нуля (например, -1), также будет являться нижней границей.
Верхняя граница — это любое число, которое не меньше ни одного из членов последовательности. Рассмотрим члены последовательности: $x_1=1, x_2=\frac{1}{2}, x_3=\frac{1}{3}, \ldots$. Последовательность является убывающей, так как $x_{n+1} = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} = x_n$. Её наибольшим элементом является первый член $x_1 = 1$. Таким образом, все члены последовательности не превосходят 1, то есть $x_n \le 1$ для всех $n$. Следовательно, 1 является верхней границей. Любое число, большее единицы (например, 5), также будет являться верхней границей.

Ответ: Пример сходящейся последовательности — $x_n = \frac{1}{n}$. Её нижняя граница: 0. Её верхняя граница: 1.

15. Сформулируйте теорему Вейерштрасса.

Под названием «теорема Вейерштрасса» в математическом анализе известно несколько важных утверждений. Как правило, в курсах анализа под этим названием подразумевают одну из двух теорем о свойствах непрерывных функций и ограниченных последовательностей, но существуют и другие важные теоремы, носящие имя Карла Вейерштрасса.

Первая теорема Вейерштрасса (об экстремальных значениях)

Эта теорема, также известная как теорема о функции, непрерывной на компакте, утверждает, что непрерывная на замкнутом отрезке функция обязательно является ограниченной на этом отрезке и достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений.

Формулировка:
Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она ограничена на этом отрезке и существуют такие точки $x_{min} \in [a, b]$ и $x_{max} \in [a, b]$, что для любого $x \in [a, b]$ выполняется двойное неравенство: $$ f(x_{min}) \le f(x) \le f(x_{max}) $$ Таким образом, функция достигает своего наименьшего значения (минимума) $m = f(x_{min})$ и наибольшего значения (максимума) $M = f(x_{max})$ на отрезке $[a, b]$.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нём и достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значений.

Вторая теорема Вейерштрасса (теорема Больцано — Вейерштрасса)

Эта теорема является ключевым результатом в анализе последовательностей и утверждает, что в любой ограниченной бесконечной последовательности действительных чисел всегда можно найти сходящуюся подпоследовательность.

Формулировка для последовательностей:
Из любой ограниченной числовой последовательности $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$.

Формулировка для множеств:
Любое бесконечное ограниченное подмножество действительных чисел $(\mathbb{R})$ имеет по крайней мере одну предельную точку.

Ответ: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Аппроксимационная теорема Вейерштрасса

Теорема устанавливает возможность приближения любой непрерывной функции многочленами с любой степенью точности. Она является фундаментальной в теории приближений.

Формулировка:
Для любой функции $f(x)$, непрерывной на отрезке $[a, b]$, и для любого сколь угодно малого числа $\varepsilon > 0$ существует алгебраический многочлен $P(x)$ такой, что для всех $x \in [a, b]$ выполняется неравенство: $$|f(x) - P(x)| < \varepsilon$$ Это эквивалентно утверждению, что множество всех многочленов плотно в пространстве непрерывных на отрезке $[a, b]$ функций $C[a, b]$ с равномерной нормой.

Ответ: Всякая функция, непрерывная на отрезке, может быть равномерно приближена на этом отрезке многочленами с любой наперёд заданной точностью.

Признак Вейерштрасса для равномерной сходимости

Этот признак, также известный как M-тест Вейерштрасса, предоставляет удобное достаточное условие для установления равномерной сходимости функциональных рядов.

Формулировка:
Пусть дан функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$, определённый на множестве $X$. Если существует сходящийся числовой ряд с неотрицательными членами $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ (мажорантный ряд) такой, что для всех натуральных $n$ и для всех $x \in X$ выполняется неравенство $|u_n(x)| \le a_n$, то функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ сходится на множестве $X$ абсолютно и равномерно.

Ответ: Если члены функционального ряда на некотором множестве по абсолютной величине не превосходят членов сходящегося положительного числового ряда, то функциональный ряд сходится на этом множестве абсолютно и равномерно.

16. Сформулируйте теорему об арифметических операциях над пределами числовых последовательностей.

Теорема об арифметических операциях над пределами утверждает, что если существуют конечные пределы двух числовых последовательностей $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$: $ \lim_{n \to \infty} x_n = A $ и $ \lim_{n \to \infty} y_n = B $, где $A$ и $B$ — действительные числа, то существуют и пределы их суммы, разности, произведения и частного (при дополнительном условии для частного), которые вычисляются по следующим правилам.

Предел суммы

Предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме их пределов.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n = A + B $.

Предел разности

Предел разности двух сходящихся последовательностей равен разности их пределов.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n - \lim_{n \to \infty} y_n = A - B $.

Предел произведения

Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} (x_n \cdot y_n) = (\lim_{n \to \infty} x_n) \cdot (\lim_{n \to \infty} y_n) = A \cdot B $.

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если $c$ — константа, то предел произведения константы на сходящуюся последовательность равен произведению этой константы на предел последовательности.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} (c \cdot x_n) = c \cdot \lim_{n \to \infty} x_n = c \cdot A $.

Предел частного

Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел последовательности в знаменателе не равен нулю.

Ответ: $ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} x_n}{\lim_{n \to \infty} y_n} = \frac{A}{B} $ (при условии, что $ B \neq 0 $).

17. Объясните, почему $\lim_{n\to\infty} \frac{2018}{n^5} = 0.$

17.

Равенство $\lim_{n \to \infty} \frac{2018}{n^5} = 0$ объясняется поведением числителя и знаменателя дроби, когда переменная $n$ стремится к бесконечности.

Интуитивное объяснение:

Числитель дроби — это постоянное число $2018$. Знаменатель дроби — это $n^5$. Когда $n$ неограниченно возрастает, знаменатель $n^5$ также возрастает неограниченно, становясь огромным числом. Мы делим постоянное число на всё большее и большее число.

Например:

• Если $n = 10$, то $\frac{2018}{10^5} = \frac{2018}{100\,000} = 0.02018$.
• Если $n = 100$, то $\frac{2018}{100^5} = \frac{2018}{10\,000\,000\,000} = 0.0000002018$.

Как видно из примеров, с ростом $n$ значение дроби становится всё ближе и ближе к нулю. В пределе, когда знаменатель стремится к бесконечности ($\infty$), значение всей дроби стремится к нулю.

Формальное объяснение с использованием свойств пределов:

Можно вынести постоянный множитель $2018$ за знак предела: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{2018}{n^5} = 2018 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} $$

Согласно одному из основных свойств пределов, предел вида $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p}$ равен нулю для любого положительного числа $p$ ($p>0$). В данном случае $p=5$, что больше нуля, поэтому: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^5} = 0 $$

Подставив это значение в наше выражение, получаем: $$ 2018 \cdot 0 = 0 $$

Ответ: Предел равен нулю, потому что числитель дроби является константой, а знаменатель $n^5$ неограниченно возрастает при $n \to \infty$. Деление константы на бесконечно большую величину в пределе даёт ноль.