Страница 169, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

41.5 a) $\log_{\sqrt{7}} 49;$

б) $\log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8});$

в) $\log_{\frac{1}{15}} (225\sqrt[3]{15});$

г) $\log_{\frac{3}{2}} \frac{64}{729}.$

а) Для вычисления $ \log_{\sqrt{7}} 49 $ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа, в данном случае числа 7.
Основание: $ \sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}} $.
Аргумент: $ 49 = 7^2 $.
Подставим эти значения в исходное выражение: $ \log_{\sqrt{7}} 49 = \log_{7^{\frac{1}{2}}} (7^2) $.
Воспользуемся свойством логарифма $ \log_{a^n} (a^m) = \frac{m}{n} $.
$ \log_{7^{\frac{1}{2}}} (7^2) = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4 $.
Ответ: 4.

б) Для вычисления $ \log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8}) $ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 2.
Основание: $ \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} $.
Преобразуем аргумент: $ 2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} $.
Представим аргумент в виде степени числа 2: $ 4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}} $.
Подставим эти значения в исходное выражение: $ \log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8}) = \log_{2^{\frac{1}{2}}} (2^{\frac{5}{2}}) $.
Используя свойство $ \log_{a^n} (a^m) = \frac{m}{n} $, получаем:
$ \log_{2^{\frac{1}{2}}} (2^{\frac{5}{2}}) = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5 $.
Ответ: 5.

в) Для вычисления $ \log_{\frac{1}{15}} (225\sqrt[3]{15}) $ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 15.
Основание: $ \frac{1}{15} = 15^{-1} $.
Преобразуем аргумент: $ 225\sqrt[3]{15} = 15^2 \cdot 15^{\frac{1}{3}} = 15^{2+\frac{1}{3}} = 15^{\frac{7}{3}} $.
Подставим эти значения в исходное выражение: $ \log_{\frac{1}{15}} (225\sqrt[3]{15}) = \log_{15^{-1}} (15^{\frac{7}{3}}) $.
Используя свойство $ \log_{a^n} (a^m) = \frac{m}{n} $, получаем:
$ \log_{15^{-1}} (15^{\frac{7}{3}}) = \frac{\frac{7}{3}}{-1} = -\frac{7}{3} $.
Ответ: $ -\frac{7}{3} $.

г) Для вычисления $ \log_{\frac{3}{2}} \frac{64}{729} $ представим аргумент логарифма в виде степени основания $ \frac{3}{2} $.
Аргумент: $ \frac{64}{729} $. Заметим, что $ 64 = 2^6 $ и $ 729 = 3^6 $.
Следовательно, $ \frac{64}{729} = \frac{2^6}{3^6} = \left(\frac{2}{3}\right)^6 $.
Чтобы представить $ \left(\frac{2}{3}\right)^6 $ как степень основания $ \frac{3}{2} $, воспользуемся свойством $ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{b}{a}\right)^{-n} $.
$ \left(\frac{2}{3}\right)^6 = \left(\frac{3}{2}\right)^{-6} $.
Теперь подставим это в логарифм: $ \log_{\frac{3}{2}} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-6}\right) $.
По определению логарифма $ \log_a (a^x) = x $, получаем:
$ \log_{\frac{3}{2}} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{-6}\right) = -6 $.
Ответ: -6.

41.9 а) $8^{2 \log_8 3}$,

б) $6^{-3 \log_6 2}$,

в) $3^{4 \log_3 2}$,

г) $5^{-2 \log_5 3}$.

а)

Для решения выражения $8^{2 \log_8 3}$ мы воспользуемся свойством логарифма $n \log_b a = \log_b (a^n)$ и основным логарифмическим тождеством $b^{\log_b a} = a$.

1. Преобразуем показатель степени, внеся множитель 2 под знак логарифма в качестве степени числа 3: $2 \log_8 3 = \log_8 (3^2) = \log_8 9$.

2. Подставим полученное выражение обратно в исходное: $8^{2 \log_8 3} = 8^{\log_8 9}$.

3. Применим основное логарифмическое тождество: $8^{\log_8 9} = 9$.

Ответ: 9

б)

Для решения выражения $6^{-3 \log_6 2}$ используем те же свойства логарифмов.

1. Преобразуем показатель степени, внеся множитель -3 под знак логарифма в качестве степени числа 2: $-3 \log_6 2 = \log_6 (2^{-3})$.

2. Вычислим значение $2^{-3}$: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

3. Теперь исходное выражение выглядит так: $6^{-3 \log_6 2} = 6^{\log_6 (\frac{1}{8})}$.

4. Применив основное логарифмическое тождество, получаем: $6^{\log_6 (\frac{1}{8})} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

в)

Решим выражение $3^{4 \log_3 2}$, используя те же правила.

1. Внесем множитель 4 в показатель степени под логарифмом: $4 \log_3 2 = \log_3 (2^4)$.

2. Вычислим $2^4$: $2^4 = 16$.

3. Подставим обратно в исходное выражение: $3^{4 \log_3 2} = 3^{\log_3 16}$.

4. По основному логарифмическому тождеству: $3^{\log_3 16} = 16$.

Ответ: 16

г)

Решим выражение $5^{-2 \log_5 3}$.

1. Преобразуем показатель степени, используя свойство $n \log_b a = \log_b (a^n)$: $-2 \log_5 3 = \log_5 (3^{-2})$.

2. Вычислим значение $3^{-2}$: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

3. Подставим полученное выражение обратно в исходное: $5^{-2 \log_5 3} = 5^{\log_5 (\frac{1}{9})}$.

4. Применим основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$: $5^{\log_5 (\frac{1}{9})} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$

41.13 a) $ \log_x 4 = 2; $

б) $ \log_x 27 = 3; $

в) $ \log_x 49 = 2; $

г) $ \log_x 125 = 3. $

а) По определению логарифма, равенство $\log_x 4 = 2$ эквивалентно степенному уравнению $x^2 = 4$. При этом основание логарифма $x$ должно удовлетворять условиям $x > 0$ и $x \ne 1$. Решая уравнение $x^2 = 4$, получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет обоим условиям ($2 > 0$ и $2 \ne 1$). Следовательно, решением является $x=2$.
Ответ: 2.

б) По определению логарифма, равенство $\log_x 27 = 3$ эквивалентно степенному уравнению $x^3 = 27$. Основание логарифма $x$ должно быть положительным ($x > 0$) и не равным единице ($x \ne 1$). Чтобы найти $x$, нужно извлечь кубический корень из 27. Так как $3^3 = 27$, то $x = 3$. Это значение удовлетворяет условиям для основания логарифма ($3 > 0$ и $3 \ne 1$).
Ответ: 3.

в) Согласно определению логарифма, уравнение $\log_x 49 = 2$ можно переписать в виде $x^2 = 49$. Условия для основания логарифма: $x > 0$ и $x \ne 1$. Уравнение $x^2 = 49$ имеет два решения: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$. Значение $x_2 = -7$ не подходит, так как основание логарифма не может быть отрицательным. Значение $x_1 = 7$ удовлетворяет всем условиям ($7 > 0$ и $7 \ne 1$).
Ответ: 7.

г) Используя определение логарифма, преобразуем уравнение $\log_x 125 = 3$ в степенное уравнение $x^3 = 125$. Основание логарифма $x$ должно быть больше нуля ($x > 0$) и не равно единице ($x \ne 1$). Найдем корень уравнения $x^3 = 125$. Поскольку $5^3 = 125$, то $x = 5$. Данное значение удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \ne 1$.
Ответ: 5.

41.6 a) $\log_{\sqrt{2}} 1;$

б) $\log_{0.5} \frac{1}{4\sqrt{2}};$

В) $\log_{\sqrt{3}} 81\sqrt{3};$

г) $\lg \frac{1}{\sqrt[3]{10}}.$

а) Чтобы найти значение выражения $\log_{\sqrt{2}} 1$, воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ равносильно $b^c = a$. В данном случае основание $b = \sqrt{2}$, а число под логарифмом $a = 1$. Нам нужно найти такое число $c$, чтобы выполнялось равенство $(\sqrt{2})^c = 1$. Любое отличное от нуля число в степени 0 равно 1, поэтому $c = 0$.
Ответ: 0

б) Обозначим искомое значение как $x$: $x = \log_{0,5} \frac{1}{4\sqrt{2}}$. Согласно определению логарифма, это эквивалентно уравнению $(0,5)^x = \frac{1}{4\sqrt{2}}$. Для решения приведем обе части уравнения к степеням с одинаковым основанием, например, 2.
Представим основание логарифма: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Представим число под знаком логарифма: $4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}$.
Следовательно, $\frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} = 2^{-\frac{5}{2}}$.
Подставим полученные выражения в наше уравнение: $(2^{-1})^x = 2^{-\frac{5}{2}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2^{-x} = 2^{-\frac{5}{2}}$.
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели: $-x = -\frac{5}{2}$, откуда $x = \frac{5}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$

в) Обозначим искомое значение как $x$: $x = \log_{\sqrt{3}} (81\sqrt{3})$. По определению логарифма, это означает, что $(\sqrt{3})^x = 81\sqrt{3}$. Приведем обе части уравнения к основанию 3.
Основание логарифма: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Число под знаком логарифма: $81\sqrt{3} = 3^4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{4+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{9}{2}}$.
Наше уравнение принимает вид: $(3^{\frac{1}{2}})^x = 3^{\frac{9}{2}}$.
Упростим левую часть: $3^{\frac{x}{2}} = 3^{\frac{9}{2}}$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $\frac{x}{2} = \frac{9}{2}$.
Отсюда следует, что $x=9$.
Ответ: 9

г) Запись $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg a = \log_{10} a$. Нам необходимо вычислить $\lg \frac{1}{\sqrt[3]{10}}$. Обозначим это значение как $x$: $x = \log_{10} \frac{1}{\sqrt[3]{10}}$.
По определению логарифма, $10^x = \frac{1}{\sqrt[3]{10}}$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 10.
Корень третьей степени из 10 можно записать как $10^{\frac{1}{3}}$.
Тогда $\frac{1}{\sqrt[3]{10}} = \frac{1}{10^{\frac{1}{3}}} = 10^{-\frac{1}{3}}$.
Получаем уравнение: $10^x = 10^{-\frac{1}{3}}$.
Из равенства степеней с одинаковым основанием следует равенство их показателей: $x = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$

Решите уравнение:

41.10 a) $lg x = 1$;

б) $lg x = -2$;

в) $lg x = 3$;

г) $lg x = -4$.

а) Дано уравнение $lg x = 1$. Десятичный логарифм, обозначаемый как $lg$, имеет основание 10. Таким образом, уравнение эквивалентно $\log_{10} x = 1$. По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $a = b^c$. В данном случае $x = 10^1$, что равно 10. Ответ: 10.

б) Дано уравнение $lg x = -2$. Это уравнение с десятичным логарифмом эквивалентно $\log_{10} x = -2$. По определению логарифма, $x = 10^{-2}$. Вычисляем значение: $x = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01$. Ответ: 0.01.

в) Дано уравнение $lg x = 3$. Уравнение можно переписать как $\log_{10} x = 3$. По определению логарифма, $x = 10^3$. Вычисляем значение: $x = 1000$. Ответ: 1000.

г) Дано уравнение $lg x = -4$. Уравнение можно записать в виде $\log_{10} x = -4$. По определению логарифма, $x = 10^{-4}$. Вычисляем значение: $x = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} = 0.0001$. Ответ: 0.0001.

41.14 а) $\log_x \frac{1}{27} = -3;$

б) $\log_x 4 = -\frac{1}{2};$

в) $\log_x \frac{1}{16} = -4;$

г) $\log_x 8 = -\frac{1}{3}.$

а) Для решения уравнения $log_x \frac{1}{27} = -3$ воспользуемся определением логарифма: $log_b a = c$ эквивалентно $b^c = a$. Применяя это правило, получаем $x^{-3} = \frac{1}{27}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), перепишем уравнение как $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{27}$. Поскольку $27 = 3^3$, мы можем записать $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{3^3}$. Отсюда следует, что $x^3 = 3^3$, а значит $x=3$. Основание логарифма должно быть больше 0 и не равно 1, и $x=3$ удовлетворяет этим условиям. Ответ: $3$.

б) Для уравнения $log_x 4 = -\frac{1}{2}$ по определению логарифма имеем $x^{-1/2} = 4$. Преобразуем левую часть, используя свойства степеней ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{1/2} = \sqrt{a}$): $\frac{1}{x^{1/2}} = 4$, что то же самое, что и $\frac{1}{\sqrt{x}} = 4$. Выражаем отсюда $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$. Чтобы найти $x$, возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{4})^2$, что дает $x = \frac{1}{16}$. Это значение удовлетворяет условиям для основания логарифма ($x > 0$ и $x \neq 1$). Ответ: $\frac{1}{16}$.

в) В уравнении $log_x \frac{1}{16} = -4$ применяем определение логарифма: $x^{-4} = \frac{1}{16}$. Это эквивалентно $\frac{1}{x^4} = \frac{1}{16}$, откуда $x^4 = 16$. Так как $16 = 2^4$, получаем уравнение $x^4 = 2^4$. У этого уравнения есть два действительных корня: $x=2$ и $x=-2$. Однако основание логарифма $x$ по определению должно быть положительным ($x>0$), поэтому корень $x=-2$ является посторонним. Единственным подходящим решением является $x=2$. Ответ: $2$.

г) Для уравнения $log_x 8 = -\frac{1}{3}$ используем определение логарифма, чтобы получить $x^{-1/3} = 8$. Используя свойства степеней ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$), переписываем уравнение: $\frac{1}{x^{1/3}} = 8$, или $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 8$. Отсюда находим, что $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{8}$. Чтобы найти $x$, возводим обе части уравнения в куб: $(\sqrt[3]{x})^3 = (\frac{1}{8})^3$. Это дает $x = \frac{1}{8^3} = \frac{1}{512}$. Данное значение удовлетворяет требованиям к основанию логарифма ($x>0$ и $x \neq 1$). Ответ: $\frac{1}{512}$.

41.7 а) $3^{\log_3 8}$,

б) $4^{\log_4 23}$,

в) $12^{\log_{12} 1,3}$,

г) $\left(\frac{1}{4}\right)^{\log_{\frac{1}{4}} 7}$.

а) Для вычисления значения данного выражения используется основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$. В данном случае основание степени $a=3$ совпадает с основанием логарифма, а число под логарифмом $b=8$.

Применяя это тождество, получаем:

$3^{\log_3 8} = 8$

Ответ: 8

б) Аналогично предыдущему пункту, используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Здесь основание степени и основание логарифма равны 4 ($a=4$), а число под логарифмом равно 23 ($b=23$).

Следовательно:

$4^{\log_4 23} = 23$

Ответ: 23

в) В этом примере мы также применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Основание степени и основание логарифма равны 12 ($a=12$), а число под логарифмом — 1,3 ($b=1,3$).

Таким образом, выражение упрощается до:

$12^{\log_{12} 1,3} = 1,3$

Ответ: 1,3

г) Для решения последнего примера снова воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. В этом выражении основание степени $a = \frac{1}{4}$ совпадает с основанием логарифма, а число под знаком логарифма $b=7$.

Применение тождества даёт результат:

$(\frac{1}{4})^{\log_{\frac{1}{4}} 7} = 7$

Ответ: 7

41.11 a) $\log_9 x = \frac{1}{2}$;

б) $\log_{0.027} x = \frac{2}{3}$;

в) $\log_8 x = \frac{1}{3}$;

г) $\log_{0.25} x = \frac{3}{2}$.

а) Дано логарифмическое уравнение $ \log_9 x = \frac{1}{2} $.
По определению логарифма, выражение $ \log_b a = c $ эквивалентно $ a = b^c $.
Применим это определение к данному уравнению:
$ x = 9^{\frac{1}{2}} $
Возведение в степень $ \frac{1}{2} $ — это то же самое, что и извлечение квадратного корня.
$ x = \sqrt{9} $
$ x = 3 $
Ответ: 3

б) Дано логарифмическое уравнение $ \log_{0,027} x = \frac{2}{3} $.
По определению логарифма:
$ x = (0,027)^{\frac{2}{3}} $
Для удобства вычислений представим основание 0,027 в виде обыкновенной дроби: $ 0,027 = \frac{27}{1000} $.
$ x = \left(\frac{27}{1000}\right)^{\frac{2}{3}} $
Используем свойство степени $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $. Заметим, что $ 27 = 3^3 $ и $ 1000 = 10^3 $, поэтому $ \frac{27}{1000} = \left(\frac{3}{10}\right)^3 $.
$ x = \left(\left(\frac{3}{10}\right)^3\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{3}{10}\right)^{3 \cdot \frac{2}{3}} = \left(\frac{3}{10}\right)^2 $
$ x = \frac{3^2}{10^2} = \frac{9}{100} = 0,09 $
Ответ: 0,09

в) Дано логарифмическое уравнение $ \log_8 x = \frac{1}{3} $.
По определению логарифма:
$ x = 8^{\frac{1}{3}} $
Возведение в степень $ \frac{1}{3} $ эквивалентно извлечению кубического корня.
$ x = \sqrt[3]{8} $
$ x = 2 $
Ответ: 2

г) Дано логарифмическое уравнение $ \log_{0,25} x = \frac{3}{2} $.
По определению логарифма:
$ x = (0,25)^{\frac{3}{2}} $
Представим основание 0,25 в виде обыкновенной дроби: $ 0,25 = \frac{1}{4} $.
$ x = \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}} $
Используем свойство степеней $ a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m $.
$ x = \left(\sqrt{\frac{1}{4}}\right)^3 $
Квадратный корень из $ \frac{1}{4} $ равен $ \frac{1}{2} $.
$ x = \left(\frac{1}{2}\right)^3 $
$ x = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} $
Ответ: $ \frac{1}{8} $

41.4 a) $\log_3 \frac{1}{27}$;

В) $\lg 0,0001$;

б) $\log_{0,1} 0,0001$;

Г) $\log_{\frac{1}{3}} 81.$

а) Чтобы вычислить $ \log_3 \frac{1}{27} $, нужно найти степень, в которую необходимо возвести основание 3, чтобы получить число $ \frac{1}{27} $. По определению логарифма, если $ \log_3 \frac{1}{27} = x $, то $ 3^x = \frac{1}{27} $.
Представим число $ \frac{1}{27} $ в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $ 27 = 3^3 $. Используя свойство отрицательной степени $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получаем: $ \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3} $.
Таким образом, наше уравнение принимает вид $ 3^x = 3^{-3} $. Отсюда следует, что $ x = -3 $.
Другой способ — это использовать свойство логарифма $ \log_a(a^x) = x $:
$ \log_3 \frac{1}{27} = \log_3 (3^{-3}) = -3 $.

Ответ: -3

б) Чтобы вычислить $ \log_{0,1} 0,0001 $, необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание 0,1, чтобы получить число 0,0001. Пусть $ \log_{0,1} 0,0001 = x $, тогда $ (0,1)^x = 0,0001 $.
Представим число 0,0001 как степень числа 0,1:
$ 0,1^1 = 0,1 $
$ 0,1^2 = 0,01 $
$ 0,1^3 = 0,001 $
$ 0,1^4 = 0,0001 $
Таким образом, уравнение принимает вид $ (0,1)^x = (0,1)^4 $, откуда $ x = 4 $.
Используя свойство логарифма $ \log_a(a^x) = x $, получаем:
$ \log_{0,1} 0,0001 = \log_{0,1} ((0,1)^4) = 4 $.

Ответ: 4

в) Выражение $ \lg 0,0001 $ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. $ \lg 0,0001 = \log_{10} 0,0001 $.
Нам нужно найти степень, в которую следует возвести 10, чтобы получить 0,0001. Если $ \log_{10} 0,0001 = x $, то $ 10^x = 0,0001 $.
Представим десятичную дробь 0,0001 в виде степени числа 10:
$ 0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} $.
Используя свойство отрицательной степени $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $, имеем $ \frac{1}{10^4} = 10^{-4} $.
Значит, $ 10^x = 10^{-4} $, откуда $ x = -4 $.
Таким образом, $ \lg 0,0001 = -4 $.

Ответ: -4

г) Для вычисления $ \log_{\frac{1}{3}} 81 $ нужно найти степень $ x $, в которую нужно возвести основание $ \frac{1}{3} $, чтобы получить число 81. То есть, $ (\frac{1}{3})^x = 81 $.
Для решения этого уравнения представим обе его части в виде степеней с одним и тем же основанием, например, 3.
Основание логарифма: $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $.
Число под логарифмом: $ 81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4 $.
Подставим эти выражения в уравнение: $ (3^{-1})^x = 3^4 $.
По свойству степени $ (a^m)^n = a^{mn} $ левая часть примет вид $ 3^{-x} $.
Получаем уравнение $ 3^{-x} = 3^4 $.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $ -x = 4 $, откуда $ x = -4 $.

Ответ: -4

41.8 a) $2^{3+\log_2 9}$;

б) $7^{1+\log_7 4}$;

в) $(\frac{1}{6})^{2+\log_{\frac{1}{6}} 20}$;

г) $(\sqrt{7})^{4+\log_{\sqrt{7}} 0.5}$.

а) Для решения данного выражения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.
$2^{3 + \log_2 9} = 2^3 \cdot 2^{\log_2 9}$
Сначала вычислим $2^3 = 8$.
Затем, согласно основному логарифмическому тождеству, $2^{\log_2 9} = 9$.
Теперь перемножим полученные значения:
$8 \cdot 9 = 72$.
Ответ: 72

б) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$7^{1 + \log_7 4} = 7^1 \cdot 7^{\log_7 4}$
Мы знаем, что $7^1 = 7$.
По основному логарифмическому тождеству, $7^{\log_7 4} = 4$.
Перемножаем результаты:
$7 \cdot 4 = 28$.
Ответ: 28

в) Применим те же свойства, что и в предыдущих примерах. Основание степени теперь дробное, но правила остаются теми же.
$(\frac{1}{6})^{2 + \log_{\frac{1}{6}} 20} = (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 20}$
Вычисляем первый множитель: $(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, находим второй множитель: $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 20} = 20$.
Перемножим полученные значения:
$\frac{1}{36} \cdot 20 = \frac{20}{36}$
Сократим дробь: $\frac{20}{36} = \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$

г) Снова используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$(\sqrt{7})^{4 + \log_{\sqrt{7}} 0,5} = (\sqrt{7})^4 \cdot (\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0,5}$
Вычислим первый множитель: $(\sqrt{7})^4 = ((\sqrt{7})^2)^2 = 7^2 = 49$.
По основному логарифмическому тождеству, второй множитель равен: $(\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0,5} = 0,5$.
Перемножим результаты:
$49 \cdot 0,5 = 49 \cdot \frac{1}{2} = \frac{49}{2} = 24,5$.
Ответ: 24,5

41.12 a) $ \log_4 x = -\frac{1}{2} $

б) $ \log_{0.125} x = -\frac{2}{3} $

В) $ \log_{32} x = -\frac{4}{5} $

Г) $ \log_{0.01} x = -\frac{3}{2} $

а) Дано уравнение $\log_4 x = -\frac{1}{2}$.

По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то $a = b^c$. Применим это правило к нашему уравнению:

$x = 4^{-\frac{1}{2}}$

Степень с отрицательным показателем означает обратное число, а дробный показатель $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень:

$x = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Дано уравнение $\log_{0,125} x = -\frac{2}{3}$.

По определению логарифма:

$x = 0,125^{-\frac{2}{3}}$

Преобразуем десятичную дробь $0,125$ в обыкновенную: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Теперь подставим это значение в выражение для $x$:

$x = \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}$

Отрицательный показатель степени переворачивает дробь:

$x = 8^{\frac{2}{3}}$

Дробный показатель $\frac{2}{3}$ означает извлечение кубического корня и возведение в квадрат:

$x = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Ответ: $4$.

в) Дано уравнение $\log_{32} x = -\frac{4}{5}$.

По определению логарифма:

$x = 32^{-\frac{4}{5}}$

Представим основание $32$ как степень числа $2$: $32 = 2^5$.

Подставим это в наше выражение:

$x = (2^5)^{-\frac{4}{5}}$

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$x = 2^{5 \cdot (-\frac{4}{5})} = 2^{-4}$

Вычисляем значение:

$x = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.

Ответ: $\frac{1}{16}$.

г) Дано уравнение $\log_{0,01} x = -\frac{3}{2}$.

По определению логарифма:

$x = 0,01^{-\frac{3}{2}}$

Представим основание $0,01$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{100}$ или как степень числа $10$, то есть $10^{-2}$. Используем второй вариант:

$x = (10^{-2})^{-\frac{3}{2}}$

При возведении степени в степень показатели перемножаются:

$x = 10^{-2 \cdot (-\frac{3}{2})} = 10^3$

Вычисляем значение:

$x = 1000$.

Ответ: $1000$.