Страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

40.40 a) $2^x \ge 4$;

б) $2^x < \frac{1}{2}$;

в) $2^x \le 8$;

г) $2^x > \frac{1}{16}$.

а) Решим неравенство $2^x \ge 4$.

Для решения показательного неравенства необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2.

Представим число 4 как степень с основанием 2: $4 = 2^2$.

Теперь неравенство можно переписать в виде: $2^x \ge 2^2$.

Так как основание степени $a = 2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

Сравниваем показатели степеней: $x \ge 2$.

Ответ: $x \ge 2$ (или в виде промежутка: $x \in [2; +\infty)$).

б) Решим неравенство $2^x < \frac{1}{2}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2. Используем свойство степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.

Представим число $\frac{1}{2}$ как степень с основанием 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $2^x < 2^{-1}$.

Основание степени $a = 2$ больше единицы ($2 > 1$), поэтому знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.

Сравниваем показатели: $x < -1$.

Ответ: $x < -1$ (или в виде промежутка: $x \in (-\infty; -1)$).

в) Решим неравенство $2^x \le 8$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

Представим число 8 как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.

Неравенство можно переписать в виде: $2^x \le 2^3$.

Так как основание степени $a = 2$ больше единицы ($2 > 1$), знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

Сравниваем показатели: $x \le 3$.

Ответ: $x \le 3$ (или в виде промежутка: $x \in (-\infty; 3]$).

г) Решим неравенство $2^x > \frac{1}{16}$.

Приведем обе части неравенства к основанию 2.

Сначала представим число 16 как степень с основанием 2: $16 = 2^4$.

Теперь представим дробь $\frac{1}{16}$ как степень с основанием 2: $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.

Неравенство принимает вид: $2^x > 2^{-4}$.

Основание степени $a = 2$ больше единицы ($2 > 1$), поэтому знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

Сравниваем показатели: $x > -4$.

Ответ: $x > -4$ (или в виде промежутка: $x \in (-4; +\infty)$).

40.44 a) $4^{5x - 1} > 16^{3x + 2}$;

б) $\left(\frac{1}{7}\right)^{-3x + 1} \ge \left(\frac{1}{49}\right)^{x + 3}$;

в) $11^{-7x + 1} \le 121^{-2x - 10}$;

г) $(0,09)^{5x - 1} < 0,3^{x + 7}$.

а) $4^{5x-1} > 16^{3x+2}$

Для решения этого показательного неравенства необходимо привести обе его части к одному основанию. Заметим, что $16 = 4^2$.
$4^{5x-1} > (4^2)^{3x+2}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем правую часть:
$4^{5x-1} > 4^{2(3x+2)}$
$4^{5x-1} > 4^{6x+4}$
Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция $y=4^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$5x - 1 > 6x + 4$
Теперь решим полученное линейное неравенство:
$5x - 6x > 4 + 1$
$-x > 5$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x < -5$
Ответ: $x \in (-\infty; -5)$.

б) $(\frac{1}{7})^{-3x+1} \ge (\frac{1}{49})^{x+3}$

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{7}$. Мы знаем, что $\frac{1}{49} = (\frac{1}{7})^2$.
$(\frac{1}{7})^{-3x+1} \ge ((\frac{1}{7})^2)^{x+3}$
Применяем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(\frac{1}{7})^{-3x+1} \ge (\frac{1}{7})^{2(x+3)}$
$(\frac{1}{7})^{-3x+1} \ge (\frac{1}{7})^{2x+6}$
Так как основание степени $a = \frac{1}{7}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{1}{7})^t$ является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства нужно изменить на противоположный:
$-3x + 1 \le 2x + 6$
Решаем линейное неравенство:
$-3x - 2x \le 6 - 1$
$-5x \le 5$
Делим обе части на -5 и меняем знак неравенства:
$x \ge -1$
Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

в) $11^{-7x+1} \le 121^{-2x-10}$

Приведем обе части к основанию 11, так как $121 = 11^2$.
$11^{-7x+1} \le (11^2)^{-2x-10}$
$11^{-7x+1} \le 11^{2(-2x-10)}$
$11^{-7x+1} \le 11^{-4x-20}$
Основание степени $11 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется:
$-7x + 1 \le -4x - 20$
$-7x + 4x \le -20 - 1$
$-3x \le -21$
Делим обе части на -3, меняя знак неравенства на противоположный:
$x \ge 7$
Ответ: $x \in [7; +\infty)$.

г) $(0,09)^{5x-1} < 0,3^{x+7}$

Приведем обе части к общему основанию 0,3. Заметим, что $0,09 = (0,3)^2$.
$((0,3)^2)^{5x-1} < 0,3^{x+7}$
$(0,3)^{2(5x-1)} < 0,3^{x+7}$
$(0,3)^{10x-2} < 0,3^{x+7}$
Основание степени $a = 0,3$ находится в интервале $0 < a < 1$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$10x - 2 > x + 7$
Решаем полученное линейное неравенство:
$10x - x > 7 + 2$
$9x > 9$
$x > 1$
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

40.41 a) $3^x \le 81$;

б) $\left(\frac{1}{3}\right)^x > \frac{1}{27}$;

B) $5^x > 125$;

Г) $(0,2)^x \le 0,04.

Дано показательное неравенство $3^x \le 81$.

Чтобы решить его, необходимо привести обе части к одному основанию. В данном случае это основание 3.

Представим число 81 в виде степени числа 3:

$81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^{2+2} = 3^4$.

Теперь неравенство можно переписать в виде:

$3^x \le 3^4$.

Поскольку основание степени $a=3$ больше единицы ($3 > 1$), показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, и знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.

$x \le 4$.

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 4]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4]$.

Дано показательное неравенство $(\frac{1}{3})^x > \frac{1}{27}$.

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{1}{3}$.

Представим число $\frac{1}{27}$ в виде степени числа $\frac{1}{3}$:

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$.

Перепишем неравенство:

$(\frac{1}{3})^x > (\frac{1}{3})^3$.

Поскольку основание степени $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{3} < 1$), показательная функция $y=(\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому знак неравенства при переходе к показателям меняется на противоположный.

$x < 3$.

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

Дано показательное неравенство $5^x > 125$.

Приведем обе части к основанию 5.

Представим число 125 в виде степени числа 5:

$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$.

Перепишем неравенство:

$5^x > 5^3$.

Так как основание степени $a=5$ больше единицы ($5 > 1$), показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.

$x > 3$.

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

Дано показательное неравенство $(0,2)^x \le 0,04$.

Приведем обе части к основанию 0,2.

Представим число 0,04 в виде степени числа 0,2:

$0,04 = (0,2)^2$.

Перепишем неравенство:

$(0,2)^x \le (0,2)^2$.

Так как основание степени $a=0,2$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,2 < 1$), показательная функция $y=(0,2)^x$ является убывающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к показателям необходимо изменить на противоположный.

$x \ge 2$.

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

40.45 a) $2^{3x + 6} \leqslant \left(\frac{1}{4}\right)^{x - 1}$;

б) $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x + 3} > \left(\frac{12}{7}\right)^{3 + 2x}$;

в) $25^{-x + 3} \geqslant \left(\frac{1}{5}\right)^{3x - 1}$;

г) $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x - 8} < \left(\frac{9}{25}\right)^{-x + 3}$.

а) $2^{3x+6} \le (\frac{1}{4})^{x-1}$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 2. Представим $\frac{1}{4}$ как степень двойки: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$2^{3x+6} \le (2^{-2})^{x-1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим правую часть:

$2^{3x+6} \le 2^{-2(x-1)}$

$2^{3x+6} \le 2^{-2x+2}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$3x + 6 \le -2x + 2$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$3x + 2x \le 2 - 6$

$5x \le -4$

$x \le -\frac{4}{5}$

Решение можно записать в виде интервала $x \in (-\infty; -0.8]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.8]$.

б) $(\frac{7}{12})^{-2x+3} > (\frac{12}{7})^{3+2x}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что основания $\frac{7}{12}$ и $\frac{12}{7}$ являются взаимно обратными числами, то есть $\frac{12}{7} = (\frac{7}{12})^{-1}$.

Подставим это в неравенство:

$(\frac{7}{12})^{-2x+3} > ((\frac{7}{12})^{-1})^{3+2x}$

Упростим правую часть:

$(\frac{7}{12})^{-2x+3} > (\frac{7}{12})^{-(3+2x)}$

$(\frac{7}{12})^{-2x+3} > (\frac{7}{12})^{-3-2x}$

Так как основание степени $0 < \frac{7}{12} < 1$, показательная функция $y=(\frac{7}{12})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$-2x + 3 < -3 - 2x$

Решим полученное линейное неравенство:

$-2x + 2x < -3 - 3$

$0 < -6$

Мы получили ложное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

в) $25^{-x+3} \ge (\frac{1}{5})^{3x-1}$

Приведем обе части к общему основанию 5. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Подставим эти выражения в неравенство:

$(5^2)^{-x+3} \ge (5^{-1})^{3x-1}$

Упростим показатели степеней:

$5^{2(-x+3)} \ge 5^{-1(3x-1)}$

$5^{-2x+6} \ge 5^{-3x+1}$

Так как основание $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-2x + 6 \ge -3x + 1$

Решим линейное неравенство:

$-2x + 3x \ge 1 - 6$

$x \ge -5$

Решение в виде интервала: $x \in [-5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

г) $(\frac{5}{3})^{2x-8} < (\frac{9}{25})^{-x+3}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Удобно выбрать основание $\frac{5}{3}$. Представим правую часть через это основание:

$\frac{9}{25} = \frac{3^2}{5^2} = (\frac{3}{5})^2$. Так как $\frac{3}{5} = (\frac{5}{3})^{-1}$, то $\frac{9}{25} = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(\frac{5}{3})^{2x-8} < ((\frac{5}{3})^{-2})^{-x+3}$

Упростим показатель в правой части:

$(\frac{5}{3})^{2x-8} < (\frac{5}{3})^{-2(-x+3)}$

$(\frac{5}{3})^{2x-8} < (\frac{5}{3})^{2x-6}$

Основание степени $\frac{5}{3} > 1$, поэтому показательная функция возрастающая, и знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$2x - 8 < 2x - 6$

Решим полученное неравенство:

$2x - 2x < -6 + 8$

$0 < 2$

Мы получили верное числовое неравенство, не зависящее от $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого действительного значения переменной $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

40.42 a) $3^2 - 4 \leq 27;$

б) $(\frac{2}{3})^{3x+6} > \frac{4}{9};$

B) $5^{4x+2} \geq 125;$

Г) $(0,1)^{5x-9} < 0,001.$

а) $3^{x^2 - 4} \le 27$
Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 3.
Представим число 27 как степень тройки: $27 = 3^3$.
Неравенство принимает вид:
$3^{x^2 - 4} \le 3^3$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 4 \le 3$
Теперь решим полученное квадратное неравенство:
$x^2 - 4 - 3 \le 0$
$x^2 - 7 \le 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 7 = 0$ :
$x^2 = 7 \implies x_{1,2} = \pm\sqrt{7}$
Графиком функции $y = x^2 - 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-\sqrt{7} \le x \le \sqrt{7}$.
В виде интервала это записывается как $[-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$.
Ответ: $x \in [-\sqrt{7}; \sqrt{7}]$.

б) $(\frac{2}{3})^{3x+6} > \frac{4}{9}$
Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{2}{3}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$: $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.
Неравенство принимает вид:
$(\frac{2}{3})^{3x+6} > (\frac{2}{3})^2$
Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция $y=(\frac{2}{3})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$3x + 6 < 2$
Решим полученное линейное неравенство:
$3x < 2 - 6$
$3x < -4$
$x < -\frac{4}{3}$
В виде интервала это записывается как $(-\infty; -\frac{4}{3})$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{4}{3})$.

в) $5^{4x+2} \ge 125$
Приведем обе части неравенства к основанию 5.
Представим число 125 как степень пятерки: $125 = 5^3$.
Неравенство принимает вид:
$5^{4x+2} \ge 5^3$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям степеней сохраняется:
$4x + 2 \ge 3$
Решим полученное линейное неравенство:
$4x \ge 3 - 2$
$4x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{4}$
В виде интервала это записывается как $[\frac{1}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x \in [\frac{1}{4}; +\infty)$.

г) $(0,1)^{5x-9} < 0,001$
Приведем обе части неравенства к основанию 0,1.
Представим число 0,001 как степень с основанием 0,1: $0,001 = \frac{1}{1000} = (\frac{1}{10})^3 = (0,1)^3$.
Неравенство принимает вид:
$(0,1)^{5x-9} < (0,1)^3$
Так как основание степени $0 < 0,1 < 1$, показательная функция $y=(0,1)^t$ является убывающей. При переходе к показателям степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$5x - 9 > 3$
Решим полученное линейное неравенство:
$5x > 3 + 9$
$5x > 12$
$x > \frac{12}{5}$
$x > 2,4$
В виде интервала это записывается как $(2,4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (2,4; +\infty)$.

40.46 a) $2\sqrt{2} \cdot 2^{x - 3} \geq \frac{1}{2}$;

б) $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} \leq 5 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{2x - 1}$;

в) $\left(\frac{1}{7}\right)^{3x + 4} \cdot 7\sqrt{7} < \frac{1}{7}$;

г) $0,25 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{10 - x} > 4\sqrt{64}$.

а) Чтобы решить неравенство $2\sqrt{2} \cdot 2^{x-3} \ge \frac{1}{2}$, приведем обе его части к основанию 2.
Преобразуем левую часть: $2\sqrt{2} \cdot 2^{x-3} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{x-3} = 2^{1 + \frac{1}{2} + x - 3} = 2^{x - \frac{3}{2}}$.
Преобразуем правую часть: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Неравенство принимает вид: $2^{x - \frac{3}{2}} \ge 2^{-1}$.
Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$x - \frac{3}{2} \ge -1$
$x \ge \frac{3}{2} - 1$
$x \ge \frac{1}{2}$
Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) Чтобы решить неравенство $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} \le 5 \cdot (\frac{1}{5})^{2x-1}$, приведем обе его части к основанию 5.
Преобразуем левую часть: $\sqrt[3]{125} \cdot \sqrt{5} = \sqrt[3]{5^3} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$.
Преобразуем правую часть: $5 \cdot (\frac{1}{5})^{2x-1} = 5^1 \cdot (5^{-1})^{2x-1} = 5^1 \cdot 5^{-2x+1} = 5^{1-2x+1} = 5^{2-2x}$.
Неравенство принимает вид: $5^{\frac{3}{2}} \le 5^{2-2x}$.
Так как основание степени $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$\frac{3}{2} \le 2 - 2x$
$2x \le 2 - \frac{3}{2}$
$2x \le \frac{1}{2}$
$x \le \frac{1}{4}$
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{4}]$.

в) Чтобы решить неравенство $(\frac{1}{7})^{3x+4} \cdot 7\sqrt{7} < \frac{1}{7}$, приведем обе его части к основанию 7.
Преобразуем левую часть: $(\frac{1}{7})^{3x+4} \cdot 7\sqrt{7} = (7^{-1})^{3x+4} \cdot 7^1 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{-3x-4} \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 7^{-3x-4+\frac{3}{2}} = 7^{-3x-\frac{5}{2}}$.
Преобразуем правую часть: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.
Неравенство принимает вид: $7^{-3x-\frac{5}{2}} < 7^{-1}$.
Так как основание степени $7 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$-3x - \frac{5}{2} < -1$
$-3x < \frac{5}{2} - 1$
$-3x < \frac{3}{2}$
При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{3}{2 \cdot (-3)}$
$x > -\frac{1}{2}$
Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; +\infty)$.

г) Чтобы решить неравенство $0,25 \cdot (\frac{1}{4})^{10-x} > 4\sqrt{64}$, приведем обе части к основанию 4.
Преобразуем левую часть: $0,25 \cdot (\frac{1}{4})^{10-x} = 4^{-1} \cdot (4^{-1})^{10-x} = 4^{-1} \cdot 4^{-10+x} = 4^{-1-10+x} = 4^{x-11}$.
Преобразуем правую часть: $4\sqrt{64} = 4 \cdot 8 = 32$. Чтобы представить 32 в виде степени с основанием 4, заметим, что $32 = 2^5 = (4^{\frac{1}{2}})^5 = 4^{\frac{5}{2}}$.
Неравенство принимает вид: $4^{x-11} > 4^{\frac{5}{2}}$.
Так как основание степени $4 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:
$x - 11 > \frac{5}{2}$
$x > 11 + \frac{5}{2}$
$x > \frac{22}{2} + \frac{5}{2}$
$x > \frac{27}{2}$
Ответ: $x \in (\frac{27}{2}; +\infty)$.

40.39 Найдите, при каких значениях параметра a уравнение не имеет корней:

a) $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$;б) $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$.

а)

Исходное уравнение: $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степеней $4^{x+2} = 4^x \cdot 4^2 = 16 \cdot 4^x$:

$48 \cdot 4^x + 27 = a + 16a \cdot 4^x$

Сгруппируем члены, содержащие $4^x$, в левой части уравнения, а свободные члены — в правой:

$48 \cdot 4^x - 16a \cdot 4^x = a - 27$

Вынесем общий множитель $4^x$ за скобки:

$(48 - 16a) \cdot 4^x = a - 27$

Введем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Поскольку показательная функция $y=4^x$ принимает только положительные значения, областью значений является $t \in (0, +\infty)$. Таким образом, $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$(48 - 16a) \cdot t = a - 27$

Это линейное уравнение относительно $t$. Исходное уравнение не имеет корней, если полученное уравнение для $t$ не имеет решений в области $t > 0$.

Рассмотрим два случая.

1. Коэффициент при $t$ равен нулю: $48 - 16a = 0$.

Отсюда $16a = 48$, то есть $a = 3$.

Подставим значение $a = 3$ в уравнение: $0 \cdot t = 3 - 27$, что равносильно $0 \cdot t = -24$. Это уравнение не имеет решений для $t$, а значит и исходное уравнение не имеет корней при $a=3$.

2. Коэффициент при $t$ не равен нулю: $48 - 16a \ne 0$, то есть $a \ne 3$.

В этом случае можно выразить $t$:

$t = \frac{a - 27}{48 - 16a}$

Уравнение не будет иметь корней, если значение $t$ не будет положительным, то есть $t \le 0$. Составим и решим неравенство:

$\frac{a - 27}{48 - 16a} \le 0$

$\frac{a - 27}{16(3 - a)} \le 0$

Так как $16 > 0$, знак дроби совпадает со знаком выражения $\frac{a-27}{3-a}$.

$\frac{a - 27}{3 - a} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $a=27$ и $a=3$. Они разбивают числовую ось на интервалы.

- При $a \in (-\infty, 3)$, дробь имеет вид $\frac{(-)}{(+)} < 0$. Неравенство выполняется.

- При $a \in (3, 27)$, дробь имеет вид $\frac{(-)}{(-)} > 0$. Неравенство не выполняется.

- При $a \in (27, +\infty)$, дробь имеет вид $\frac{(+)}{(-)} < 0$. Неравенство выполняется.

Проверим граничные точки. При $a = 27$ числитель равен нулю, дробь равна нулю, неравенство $0 \le 0$ верно. В этом случае $t=0$, но $4^x=0$ не имеет решений, поэтому $a=27$ подходит. Точка $a=3$ не входит в решение, так как знаменатель обращается в ноль, но этот случай уже был рассмотрен отдельно.

Решение неравенства: $a \in (-\infty, 3) \cup [27, +\infty)$.

Объединяя результаты обоих случаев ($a=3$ и $a \in (-\infty, 3) \cup [27, +\infty)$), получаем итоговый промежуток.

Ответ: $a \in (-\infty, 3] \cup [27, +\infty)$.

б)

Исходное уравнение: $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$.

Представим $9^x$ как $(3^x)^2$ и $3^{x+1}$ как $3 \cdot 3^x$:

$(3^x)^2 + 2a \cdot (3 \cdot 3^x) + 9 = 0$

$(3^x)^2 + 6a \cdot 3^x + 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$. Уравнение сводится к квадратному относительно $t$:

$t^2 + 6at + 9 = 0$

Исходное уравнение не имеет корней, если это квадратное уравнение не имеет положительных корней ($t > 0$). Это возможно в двух основных ситуациях:

1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Это условие выполняется, если дискриминант $D < 0$.

$D = (6a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36a^2 - 36 = 36(a^2 - 1)$

Решим неравенство $D < 0$:

$36(a^2 - 1) < 0 \implies a^2 - 1 < 0 \implies a^2 < 1$

Это неравенство выполняется при $-1 < a < 1$.

2. Квадратное уравнение имеет действительные корни ($D \ge 0$), но они все не являются положительными (то есть $t \le 0$).

Условие $D \ge 0$ выполняется при $a^2 - 1 \ge 0$, то есть $a \le -1$ или $a \ge 1$.

Для анализа знаков корней воспользуемся теоремой Виета. Для корней $t_1$ и $t_2$ имеем:

$t_1 + t_2 = -6a$

$t_1 \cdot t_2 = 9$

Поскольку произведение корней $t_1 t_2 = 9$ положительно, то действительные корни (если они есть) будут одного знака. Так как $t^2+6at+9=0$ при $t=0$ дает $9=0$ (неверно), то корни не могут быть равны нулю. Значит, они либо оба положительные, либо оба отрицательные.

Чтобы оба корня были отрицательными, их сумма должна быть отрицательной:

$t_1 + t_2 < 0 \implies -6a < 0 \implies a > 0$.

Итак, для этого случая необходимо, чтобы одновременно выполнялись условия $D \ge 0$ (то есть $a \le -1$ или $a \ge 1$) и $a > 0$. Пересечение этих множеств дает $a \ge 1$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:

- Уравнение не имеет действительных корней при $a \in (-1, 1)$.

- Уравнение имеет только отрицательные корни при $a \in [1, +\infty)$.

Объединяя эти множества, $a \in (-1, 1) \cup [1, +\infty)$, получаем, что исходное уравнение не имеет корней при $a > -1$.

Ответ: $a \in (-1, +\infty)$.

40.43 a) $7^{2x-9} > 7^{3x-6}$;

Б) $0,5^{4x+3} \ge 0,5^{6x-1}$;

В) $9^{x-1} \le 9^{-2x+8}$;

Г) $(\frac{7}{11})^{-3-0,5} < (\frac{7}{11})^{x+1,5}$.

а) $7^{2x-9} > 7^{3x-6}$

Дано показательное неравенство. Так как основание степени $7$ больше единицы ($7 > 1$), показательная функция $y=7^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак исходного неравенства сохраняется.

$2x - 9 > 3x - 6$

Решим полученное линейное неравенство. Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$-9 + 6 > 3x - 2x$

Приведем подобные слагаемые:

$-3 > x$

Что эквивалентно записи $x < -3$.

Решением неравенства является интервал $(-\infty; -3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

б) $0,5^{4x+3} \geq 0,5^{6x-1}$

Дано показательное неравенство. Так как основание степени $0,5$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,5 < 1$), показательная функция $y=0,5^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак исходного неравенства меняется на противоположный.

$4x + 3 \leq 6x - 1$

Решим полученное линейное неравенство. Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$3 + 1 \leq 6x - 4x$

Приведем подобные слагаемые:

$4 \leq 2x$

Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не меняется, так как делим на положительное число):

$2 \leq x$

Что эквивалентно записи $x \geq 2$.

Решением неравенства является числовой промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

в) $9^{x-1} \leq 9^{-2x+8}$

Дано показательное неравенство с основанием $9$. Поскольку $9 > 1$, функция $y=9^t$ является возрастающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к показателям степеней сохраняется.

$x - 1 \leq -2x + 8$

Решим полученное линейное неравенство. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$x + 2x \leq 8 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$3x \leq 9$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x \leq 3$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 3]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

г) $(\frac{7}{11})^{-3-0,5} < (\frac{7}{11})^{x+1,5}$

Сначала упростим показатель степени в левой части неравенства:

$-3-0,5 = -3,5$

Неравенство примет вид:

$(\frac{7}{11})^{-3,5} < (\frac{7}{11})^{x+1,5}$

Основание степени равно $\frac{7}{11}$. Так как $0 < \frac{7}{11} < 1$, показательная функция $y=(\frac{7}{11})^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак исходного неравенства меняется на противоположный.

$-3,5 > x + 1,5$

Решим полученное линейное неравенство. Вычтем 1,5 из обеих частей:

$-3,5 - 1,5 > x$

$-5 > x$

Что эквивалентно записи $x < -5$.

Решением неравенства является интервал $(-\infty; -5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5)$.