Страница 144, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

37.26 a) $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2$;

б) $(1 - c^{\frac{1}{3}})^2$;

в) $(1 + b^{\frac{1}{2}})^2$;

г) $(a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}})^2$.

а)

Для раскрытия скобок в выражении $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном случае $x = m^{\frac{1}{2}}$ и $y = n^{\frac{1}{2}}$.

Подставляем эти значения в формулу:

$(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot m^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2$

Теперь упростим выражение, применяя свойство степени $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$:

$(m^{\frac{1}{2}})^2 = m^{\frac{1}{2} \cdot 2} = m^1 = m$

$(n^{\frac{1}{2}})^2 = n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = n^1 = n$

В итоге получаем:

$m + 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n$

Ответ: $m + 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n$.

б)

Для раскрытия скобок в выражении $(1 - c^{\frac{1}{3}})^2$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае $x = 1$ и $y = c^{\frac{1}{3}}$.

Подставляем эти значения в формулу:

$(1 - c^{\frac{1}{3}})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot c^{\frac{1}{3}} + (c^{\frac{1}{3}})^2$

Теперь упростим выражение, применяя свойство степени $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$:

$1^2 = 1$

$(c^{\frac{1}{3}})^2 = c^{\frac{1}{3} \cdot 2} = c^{\frac{2}{3}}$

В итоге получаем:

$1 - 2c^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{2}{3}}$

Ответ: $1 - 2c^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{2}{3}}$.

в)

Для раскрытия скобок в выражении $(1 + b^{\frac{1}{2}})^2$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном случае $x = 1$ и $y = b^{\frac{1}{2}}$.

Подставляем эти значения в формулу:

$(1 + b^{\frac{1}{2}})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2$

Теперь упростим выражение, применяя свойство степени $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$:

$1^2 = 1$

$(b^{\frac{1}{2}})^2 = b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = b^1 = b$

В итоге получаем:

$1 + 2b^{\frac{1}{2}} + b$

Ответ: $1 + 2b^{\frac{1}{2}} + b$.

г)

Для раскрытия скобок в выражении $(a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}})^2$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 2b^{\frac{1}{2}}$.

Подставляем эти значения в формулу:

$(a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot (2b^{\frac{1}{2}}) + (2b^{\frac{1}{2}})^2$

Теперь упростим каждый член выражения:

$(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$

$2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot 2b^{\frac{1}{2}} = 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$

$(2b^{\frac{1}{2}})^2 = 2^2 \cdot (b^{\frac{1}{2}})^2 = 4 \cdot b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4b$

В итоге получаем:

$a - 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 4b$

Ответ: $a - 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 4b$.

37.27 Раскройте скобки:

а) $(x^{1/3} + 3)(x^{1/3} - 3);$

б) $(a^{1/2} + b^{1/2})(a - a^{1/2}b^{1/2} + b);$

в) $(d^{1/2} - 1)(d^{1/2} + 1);$

г) $(p^{1/3} - q^{1/3})(p^{2/3} + (pq)^{1/3} + q^{2/3}).$

а) Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух выражений, что является формулой сокращенного умножения, известной как "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В этом примере $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = 3$.

Применим формулу:

$(x^{\frac{1}{3}} + 3)(x^{\frac{1}{3}} - 3) = (x^{\frac{1}{3}})^2 - 3^2 = x^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 9 = x^{\frac{2}{3}} - 9$.

Ответ: $x^{\frac{2}{3}} - 9$.

б) Это выражение соответствует формуле "сумма кубов": $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3$.

Чтобы это увидеть, определим $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = b^{\frac{1}{2}}$.

Тогда $x^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a$, $y^2 = (b^{\frac{1}{2}})^2 = b$, а произведение $xy = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$.

Вторая скобка в исходном выражении $(a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b)$ в точности совпадает с $(x^2 - xy + y^2)$.

Таким образом, всё выражение упрощается до суммы кубов $x$ и $y$:

$(a^{\frac{1}{2}})^3 + (b^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}$.

в) Это выражение, как и в пункте а), является разностью квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = d^{\frac{1}{2}}$ и $b = 1$.

Применяя формулу, получаем:

$(d^{\frac{1}{2}} - 1)(d^{\frac{1}{2}} + 1) = (d^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = d^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 = d - 1$.

Ответ: $d - 1$.

г) Данное выражение является формулой "разность кубов": $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$.

Определим $x = p^{\frac{1}{3}}$ и $y = q^{\frac{1}{3}}$.

Тогда $x^2 = (p^{\frac{1}{3}})^2 = p^{\frac{2}{3}}$, $y^2 = (q^{\frac{1}{3}})^2 = q^{\frac{2}{3}}$, а произведение $xy = p^{\frac{1}{3}}q^{\frac{1}{3}} = (pq)^{\frac{1}{3}}$.

Вторая скобка $(p^{\frac{2}{3}} + (pq)^{\frac{1}{3}} + q^{\frac{2}{3}})$ полностью соответствует $(x^2 + xy + y^2)$.

Следовательно, произведение равно разности кубов $x$ и $y$:

$(p^{\frac{1}{3}})^3 - (q^{\frac{1}{3}})^3 = p^{\frac{1}{3} \cdot 3} - q^{\frac{1}{3} \cdot 3} = p - q$.

Ответ: $p - q$.

37.24 а) $ \frac{x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}}$;

Б) $ \frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot \left(y^{-\frac{1}{2}}\right)^2}{\left(y^{\frac{4}{7}}\right)^{-2}}$;

В) $ \frac{\left(c^{-\frac{2}{3}}\right)^{-4}}{c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}}}$;

Г) $ \left(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{5}}}\right)^{20}$.

a) $\frac{x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}}$

1. Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}} = x^{-\frac{2}{3} + \frac{5}{3}} = x^{\frac{3}{3}} = x^1 = x$.

2. Теперь выражение выглядит так: $\frac{x}{x^{\frac{3}{5}}}$.

3. Упростим дробь, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{x^1}{x^{\frac{3}{5}}} = x^{1 - \frac{3}{5}} = x^{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}} = x^{\frac{2}{5}}$.

Ответ: $x^{\frac{2}{5}}$.

б) $\frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot (y^{-\frac{1}{2}})^2}{(y^{\frac{4}{7}})^{-2}}$

1. Упростим числитель. Сначала воспользуемся правилом возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(y^{-\frac{1}{2}})^2 = y^{-\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{-1}$.

2. Теперь перемножим степени в числителе:
$y^{\frac{6}{7}} \cdot y^{-1} = y^{\frac{6}{7} + (-1)} = y^{\frac{6}{7} - \frac{7}{7}} = y^{-\frac{1}{7}}$.

3. Упростим знаменатель, также используя правило возведения степени в степень:
$(y^{\frac{4}{7}})^{-2} = y^{\frac{4}{7} \cdot (-2)} = y^{-\frac{8}{7}}$.

4. Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{y^{-\frac{1}{7}}}{y^{-\frac{8}{7}}} = y^{-\frac{1}{7} - (-\frac{8}{7})} = y^{-\frac{1}{7} + \frac{8}{7}} = y^{\frac{7}{7}} = y^1 = y$.

Ответ: $y$.

в) $\frac{(c^{-\frac{2}{3}})^{-4}}{c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}}}$

1. Упростим числитель, используя правило возведения степени в степень:
$(c^{-\frac{2}{3}})^{-4} = c^{-\frac{2}{3} \cdot (-4)} = c^{\frac{8}{3}}$.

2. Упростим знаменатель, используя правило умножения степеней:
$c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6} + \frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6} + \frac{3}{6}} = c^{\frac{4}{6}} = c^{\frac{2}{3}}$.

3. Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{c^{\frac{8}{3}}}{c^{\frac{2}{3}}} = c^{\frac{8}{3} - \frac{2}{3}} = c^{\frac{6}{3}} = c^2$.

Ответ: $c^2$.

г) $(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{5}}})^{20}$

1. Сначала упростим выражение внутри скобок, разделив степени с одинаковыми основаниями отдельно для $a$ и $b$:
$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}}$.
$\frac{b^{\frac{3}{5}}}{b^{\frac{2}{5}}} = b^{\frac{3}{5} - \frac{2}{5}} = b^{\frac{1}{5}}$.

2. Выражение в скобках становится: $a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{1}{5}}$.

3. Теперь возведем полученное выражение в степень 20, используя правила $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{1}{5}})^{20} = (a^{\frac{1}{4}})^{20} \cdot (b^{\frac{1}{5}})^{20} = a^{\frac{1}{4} \cdot 20} \cdot b^{\frac{1}{5} \cdot 20} = a^5 \cdot b^4$.

Ответ: $a^5 b^4$.

Сократите дробь:

37.28 a) $ \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - 3} $;

б) $ \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a - b} $;

В) $ \frac{x + x^{\frac{1}{2}}}{2x} $;

Г) $ \frac{p^2 - 5}{p - 25} $.

а) Исходная дробь: $\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - 3}$.

Чтобы упростить это выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $3^{\frac{1}{2}} + 3$.

$\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} - 3} = \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot (3^{\frac{1}{2}} + 3)}{(3^{\frac{1}{2}} - 3) \cdot (3^{\frac{1}{2}} + 3)}$

В знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(3^{\frac{1}{2}} - 3)(3^{\frac{1}{2}} + 3) = (3^{\frac{1}{2}})^2 - 3^2 = 3 - 9 = -6$.

В числителе раскроем скобки:

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot (3^{\frac{1}{2}} + 3) = 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 = 4 \cdot 3 + 12 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 12 + 12 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{12 + 12 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{-6}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{12}{-6} + \frac{12 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{-6} = -2 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = -2(1 + 3^{\frac{1}{2}})$.

Ответ: $-2(1 + 3^{\frac{1}{2}})$

б) Исходная дробь: $\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a - b}$.

Для сокращения дроби разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Представим $a$ и $b$ как квадраты их корней: $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$.

Тогда знаменатель $a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь:

$\frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}$

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq b$):

$\frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$

Ответ: $\frac{1}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}$

в) Исходная дробь: $\frac{x + x^{\frac{1}{2}}}{2x}$.

Для сокращения дроби вынесем общий множитель в числителе. Заметим, что $x = (x^{\frac{1}{2}})^2$.

Числитель можно преобразовать: $x + x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}})^2 + x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)$.

Подставим преобразованный числитель в дробь. Также представим $x$ в знаменателе как $(x^{\frac{1}{2}})^2$:

$\frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{2(x^{\frac{1}{2}})^2}$

Сократим общий множитель $x^{\frac{1}{2}}$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{2x^{\frac{1}{2}}}$

Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{2x^{\frac{1}{2}}}$

г) Исходная дробь: $\frac{p^{\frac{1}{2}} - 5}{p - 25}$.

Для сокращения этой дроби разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов.

Представим знаменатель в виде $p - 25 = (p^{\frac{1}{2}})^2 - 5^2$.

Применив формулу, получаем: $(p^{\frac{1}{2}})^2 - 5^2 = (p^{\frac{1}{2}} - 5)(p^{\frac{1}{2}} + 5)$.

Подставим разложение в исходную дробь:

$\frac{p^{\frac{1}{2}} - 5}{(p^{\frac{1}{2}} - 5)(p^{\frac{1}{2}} + 5)}$

Сократим общий множитель $(p^{\frac{1}{2}} - 5)$ (при условии, что $p \neq 25$):

$\frac{1}{p^{\frac{1}{2}} + 5}$

Ответ: $\frac{1}{p^{\frac{1}{2}} + 5}$

Представьте выражение в виде суммы:

37.25 а) $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

б) $a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$

в) $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}})$

г) $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{3}{2}})$

а) Чтобы представить выражение $(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}) \cdot x^2y^2$ в виде суммы, нужно раскрыть скобки, умножив каждый член в скобках на множитель $x^2y^2$. Это делается с помощью распределительного свойства умножения относительно вычитания.

Выполним умножение:

$(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}) \cdot x^2y^2 = \frac{1}{x^2} \cdot x^2y^2 - \frac{1}{y^2} \cdot x^2y^2$

Теперь упростим каждое слагаемое, сократив дроби:

Для первого слагаемого: $\frac{1}{x^2} \cdot x^2y^2 = \frac{x^2y^2}{x^2} = y^2$

Для второго слагаемого: $\frac{1}{y^2} \cdot x^2y^2 = \frac{x^2y^2}{y^2} = x^2$

Таким образом, исходное выражение преобразуется в разность, которая является формой суммы ($a - b = a + (-b)$):

$y^2 - x^2$

Ответ: $y^2 - x^2$

б) Чтобы представить выражение $a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$ в виде суммы, раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения.

$a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}$

Далее применим свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ для каждого слагаемого:

Первое слагаемое: $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3}} b^{\frac{2}{3}} = a^1 b^{\frac{2}{3}} = ab^{\frac{2}{3}}$

Второе слагаемое: $a^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{3}{3}} = a^{\frac{2}{3}} b^1 = a^{\frac{2}{3}}b$

Складываем полученные выражения:

$ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b$

Ответ: $ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b$

в) Чтобы представить выражение $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}})$ в виде суммы, раскроем скобки.

$b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}}) = b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{3}{4}}$

Используем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ для упрощения:

Первое слагаемое: $b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}} \cdot c^{\frac{1}{4}} = b^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}} c^{\frac{1}{4}} = b^{\frac{3}{3}} c^{\frac{1}{4}} = b^1 c^{\frac{1}{4}} = bc^{\frac{1}{4}}$

Второе слагаемое: $b^{\frac{1}{3}} \cdot c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{3}{4}} = b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} = b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{4}{4}} = b^{\frac{1}{3}} c^1 = b^{\frac{1}{3}}c$

Складываем полученные выражения:

$bc^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c$

Ответ: $bc^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c$

г) Чтобы представить выражение $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{3}{2}})$ в виде суммы, раскроем скобки.

$x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{3}{2}}) = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{2}}$

Используем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

Первое слагаемое: $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2}} y^{\frac{1}{2}} = x^1 y^{\frac{1}{2}} = xy^{\frac{1}{2}}$

Второе слагаемое: $x^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{2}} = x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} = x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{4}{2}} = x^{\frac{1}{2}}y^2$

Записываем результат в виде разности:

$xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^2$

Ответ: $xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^2$

37.29 a) $\frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{c^{\frac{3}{2}} - d^{\frac{3}{2}}}$;

б) $\frac{m + n}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}}$.

а)

Дано выражение: $$ \frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{c^{\frac{3}{2}} - d^{\frac{3}{2}}} $$ Знаменатель этой дроби можно рассматривать как разность кубов. Представим $c^{\frac{3}{2}}$ как $(c^{\frac{1}{2}})^3$ и $d^{\frac{3}{2}}$ как $(d^{\frac{1}{2}})^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В нашем случае, пусть $a = c^{\frac{1}{2}}$ и $b = d^{\frac{1}{2}}$. Тогда: $$ c^{\frac{3}{2}} - d^{\frac{3}{2}} = (c^{\frac{1}{2}})^3 - (d^{\frac{1}{2}})^3 = (c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}) \cdot ((c^{\frac{1}{2}})^2 + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + (d^{\frac{1}{2}})^2) $$ Упрощая вторую скобку, получаем: $$ (c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d) $$

Теперь подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби: $$ \frac{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}{(c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d)} $$

Мы видим, что выражение $(c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d)$ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Мы можем сократить его, при условии, что оно не равно нулю. $$ \frac{\cancel{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d}}{(c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}})(\cancel{c + c^{\frac{1}{2}}d^{\frac{1}{2}} + d})} = \frac{1}{c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}} $$

Ответ: $\frac{1}{c^{\frac{1}{2}} - d^{\frac{1}{2}}}$.

б)

Дано выражение: $$ \frac{m + n}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} $$ Числитель этой дроби, $m + n$, можно рассматривать как сумму кубов. Представим $m$ как $(m^{\frac{1}{3}})^3$ и $n$ как $(n^{\frac{1}{3}})^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В нашем случае, пусть $a = m^{\frac{1}{3}}$ и $b = n^{\frac{1}{3}}$. Тогда: $$ m + n = (m^{\frac{1}{3}})^3 + (n^{\frac{1}{3}})^3 = (m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}) \cdot ((m^{\frac{1}{3}})^2 - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + (n^{\frac{1}{3}})^2) $$ Упрощая вторую скобку, получаем: $$ (m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}) $$

Теперь подставим полученное выражение в числитель исходной дроби: $$ \frac{(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})}{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}} $$

Мы видим, что выражение $(m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}})$ присутствует и в числителе, и в знаменателе (это выражение называется неполным квадратом разности). Мы можем сократить его. $$ \frac{(m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}})(\cancel{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}})}{\cancel{m^{\frac{2}{3}} - m^{\frac{1}{3}}n^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{2}{3}}}} = m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}} $$

Ответ: $m^{\frac{1}{3}} + n^{\frac{1}{3}}$.

1. Запишите формулу двойного аргумента:

а) для синуса;

б) для косинуса;

в) для тангенса.

Формулы двойного аргумента (или двойного угла) выражают тригонометрические функции угла $2\alpha$ через тригонометрические функции угла $\alpha$. Они выводятся из формул сложения углов, в которых полагают, что оба угла равны.

а) для синуса

Формула двойного аргумента для синуса выводится из формулы синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$. Если мы положим $\beta = \alpha$, то получим:

$\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = \sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos(\alpha)\sin(\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Таким образом, синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса и косинуса одинарного угла.

Ответ: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

б) для косинуса

Формула двойного аргумента для косинуса выводится из формулы косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$. Положив $\beta = \alpha$, получаем основную формулу:

$\cos(2\alpha) = \cos(\alpha + \alpha) = \cos(\alpha)\cos(\alpha) - \sin(\alpha)\sin(\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$

Эту формулу можно преобразовать, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

1. Выразим $\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha)$ и подставим в основную формулу:

$\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - (1 - \cos^2(\alpha)) = \cos^2(\alpha) - 1 + \cos^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$

2. Выразим $\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha)$ и подставим в основную формулу:

$\cos(2\alpha) = (1 - \sin^2(\alpha)) - \sin^2(\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$

Таким образом, для косинуса двойного угла существуют три равносильные формы записи.

Ответ: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 = 1 - 2\sin^2(\alpha)$

в) для тангенса

Формула двойного аргумента для тангенса выводится из формулы тангенса суммы двух углов: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta)}$. Если положить $\beta = \alpha$, то получим:

$\tan(2\alpha) = \tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\alpha)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\alpha)} = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$

Эту формулу также можно получить, разделив формулу двойного угла для синуса на формулу двойного угла для косинуса: $\tan(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)}$. Разделив числитель и знаменатель на $\cos^2(\alpha)$ (при условии, что $\cos(\alpha) \neq 0$), мы придем к тому же результату.

Ответ: $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)}$

2. Укажите область допустимых значений переменной в формуле

$\text{tg } 2x = \frac{2 \text{ tg } x}{1 - \text{tg}^2 x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) переменной в формуле определяется условиями, при которых все входящие в нее выражения имеют смысл. В данной формуле $ \tg 2x = \frac{2 \tg x}{1 - \tg^2 x} $ мы должны учесть три условия:

1. Должен существовать тангенс в левой части уравнения, то есть $ \tg 2x $.
Функция тангенса $ \tg \alpha $ определена, когда ее аргумент $ \alpha $ не равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ - любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).
В нашем случае аргумент равен $ 2x $, следовательно:
$ 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $
Разделим обе части на 2:
$ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

2. Должен существовать тангенс в правой части уравнения, то есть $ \tg x $.
Аналогично, функция $ \tg x $ определена, когда ее аргумент $ x $ не равен $ \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
$ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

3. Знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю.
$ 1 - \tg^2 x \neq 0 $
$ \tg^2 x \neq 1 $
Это означает, что $ \tg x \neq 1 $ и $ \tg x \neq -1 $.
Решим уравнения $ \tg x = 1 $ и $ \tg x = -1 $:
$ \tg x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $
$ \tg x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $
Эти две серии решений можно объединить в одну: $ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z} $.

Теперь объединим все найденные ограничения:
Из пункта 1: $ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $
Из пункта 2: $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Из пункта 3: $ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z} $
Ограничения из пунктов 1 и 3 совпадают. Таким образом, для того чтобы формула была верна, необходимо и достаточно выполнения двух условий.

Ответ: Область допустимых значений переменной $x$ определяется условиями $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $ и $ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} $, где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

3. Тригонометрическую функцию от аргумента $nx$ выразите через три-

гонометрические функции аргумента $\frac{nx}{2}$.

а) $\sin 3x$;

б) $\cos 8x$;

в) $\operatorname{tg} 6,5x$;

г) $\sin \frac{x}{4}$;

д) $\cos \frac{5x}{7}$.

а) Для того чтобы выразить $\sin{3x}$ через тригонометрические функции от аргумента $\frac{3x}{2}$, мы используем формулу синуса двойного угла: $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$.

В нашем случае аргумент $nx$ равен $3x$. Следовательно, аргумент $\frac{nx}{2}$ равен $\frac{3x}{2}$.

Представим $3x$ как $2 \cdot \frac{3x}{2}$ и применим формулу, где $\alpha = \frac{3x}{2}$:

$\sin{3x} = \sin{\left(2 \cdot \frac{3x}{2}\right)} = 2\sin{\left(\frac{3x}{2}\right)}\cos{\left(\frac{3x}{2}\right)}$

Ответ: $2\sin{\left(\frac{3x}{2}\right)}\cos{\left(\frac{3x}{2}\right)}$

б) Чтобы выразить $\cos{8x}$ через тригонометрические функции от аргумента $\frac{8x}{2} = 4x$, мы используем формулу косинуса двойного угла. У этой формулы есть несколько форм. Мы будем использовать основную: $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$.

Представим $8x$ как $2 \cdot 4x$. Пусть $\alpha = 4x$.

Подставим в формулу:

$\cos{8x} = \cos{(2 \cdot 4x)} = \cos^2{(4x)} - \sin^2{(4x)}$

Другие возможные формы ответа: $2\cos^2{(4x)} - 1$ или $1 - 2\sin^2{(4x)}$.

Ответ: $\cos^2{(4x)} - \sin^2{(4x)}$

в) Для выражения $\text{tg}{6,5x}$ через тригонометрическую функцию от аргумента $\frac{6,5x}{2} = 3,25x$, применяется формула тангенса двойного угла: $\text{tg}{2\alpha} = \frac{2\text{tg}{\alpha}}{1 - \text{tg}^2{\alpha}}$.

Представим аргумент $6,5x$ как $2 \cdot 3,25x$. Пусть $\alpha = 3,25x$.

Подставим в формулу:

$\text{tg}{6,5x} = \text{tg}{(2 \cdot 3,25x)} = \frac{2\text{tg}{(3,25x)}}{1 - \text{tg}^2{(3,25x)}}$

Ответ: $\frac{2\text{tg}{(3,25x)}}{1 - \text{tg}^2{(3,25x)}}$

г) Чтобы выразить $\sin{\frac{x}{4}}$ через тригонометрические функции от аргумента $\frac{x/4}{2} = \frac{x}{8}$, мы снова используем формулу синуса двойного угла: $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$.

Представим $\frac{x}{4}$ как $2 \cdot \frac{x}{8}$. Пусть $\alpha = \frac{x}{8}$.

Применяем формулу:

$\sin{\frac{x}{4}} = \sin{\left(2 \cdot \frac{x}{8}\right)} = 2\sin{\left(\frac{x}{8}\right)}\cos{\left(\frac{x}{8}\right)}$

Ответ: $2\sin{\left(\frac{x}{8}\right)}\cos{\left(\frac{x}{8}\right)}$

д) Для выражения $\cos{\frac{5x}{7}}$ через тригонометрические функции от аргумента $\frac{5x/7}{2} = \frac{5x}{14}$, воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$.

Представим $\frac{5x}{7}$ как $2 \cdot \frac{5x}{14}$. Пусть $\alpha = \frac{5x}{14}$.

Подставляем в формулу:

$\cos{\frac{5x}{7}} = \cos{\left(2 \cdot \frac{5x}{14}\right)} = \cos^2{\left(\frac{5x}{14}\right)} - \sin^2{\left(\frac{5x}{14}\right)}$

Ответ: $\cos^2{\left(\frac{5x}{14}\right)} - \sin^2{\left(\frac{5x}{14}\right)}$

4. Какие формулы называют формулами понижения степени? Запишите их.

Формулами понижения степени в тригонометрии называют формулы, которые позволяют выразить степени тригонометрических функций (например, $sin^2\alpha$, $cos^3\alpha$) через тригонометрические функции первой степени, но с кратным аргументом (например, $cos(2\alpha)$, $sin(3\alpha)$). Эти формулы очень полезны при решении интегралов и упрощении тригонометрических выражений.

Основными формулами понижения степени являются формулы для квадратов синуса, косинуса и тангенса. Они выводятся из формулы косинуса двойного угла:

$cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$

Вывод формулы для $sin^2\alpha$:

Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha$ и подставим его в формулу косинуса двойного угла:

$cos(2\alpha) = (1 - sin^2\alpha) - sin^2\alpha$

$cos(2\alpha) = 1 - 2sin^2\alpha$

Отсюда выразим $sin^2\alpha$:

$2sin^2\alpha = 1 - cos(2\alpha)$

$sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$

Вывод формулы для $cos^2\alpha$:

Теперь используем тождество $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$ и снова подставим его в формулу косинуса двойного угла:

$cos(2\alpha) = cos^2\alpha - (1 - cos^2\alpha)$

$cos(2\alpha) = 2cos^2\alpha - 1$

Отсюда выразим $cos^2\alpha$:

$2cos^2\alpha = 1 + cos(2\alpha)$

$cos^2\alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$

Вывод формулы для $tg^2\alpha$:

Формулу для квадрата тангенса можно получить, разделив формулу для $sin^2\alpha$ на формулу для $cos^2\alpha$:

$tg^2\alpha = \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{\frac{1 - cos(2\alpha)}{2}}{\frac{1 + cos(2\alpha)}{2}}$

$tg^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{1 + cos(2\alpha)}$

Существуют также формулы для более высоких степеней, например, для кубов, которые выводятся из формул тройного угла.

Формула для $sin^3\alpha$:

Из формулы $sin(3\alpha) = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$ получаем:

$sin^3\alpha = \frac{3sin\alpha - sin(3\alpha)}{4}$

Формула для $cos^3\alpha$:

Из формулы $cos(3\alpha) = 4cos^3\alpha - 3cos\alpha$ получаем:

$cos^3\alpha = \frac{3cos\alpha + cos(3\alpha)}{4}$

Ответ:

Формулы понижения степени — это тождества, позволяющие представить степени тригонометрических функций через функции в первой степени. Основные формулы:

Для квадрата синуса: $sin^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}$

Для квадрата косинуса: $cos^2\alpha = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}$

Для квадрата тангенса: $tg^2\alpha = \frac{1 - cos(2\alpha)}{1 + cos(2\alpha)}$

Для куба синуса: $sin^3\alpha = \frac{3sin\alpha - sin(3\alpha)}{4}$

Для куба косинуса: $cos^3\alpha = \frac{3cos\alpha + cos(3\alpha)}{4}$