Номер 14, страница 91 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 2. Динамика. Параграф 11. Всемирное тяготение - номер 14, страница 91.

Условие.

14. Оцените, во сколько раз ускорение свободного падения на поверхности Луны меньше, чем на поверхности Земли. Необходимые данные о массе и радиусе Земли и Луны найдите сами (можно воспользоваться Интернетом).

Решение.

Дано:

Масса Земли $M_З \approx 5.972 \cdot 10^{24}$ кг

Радиус Земли $R_З \approx 6371$ км

Масса Луны $M_Л \approx 7.342 \cdot 10^{22}$ кг

Радиус Луны $R_Л \approx 1737$ км

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6371 \text{ км} = 6371 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.371 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_Л = 1737 \text{ км} = 1737 \cdot 10^3 \text{ м} = 1.737 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Во сколько раз ускорение свободного падения на поверхности Луны меньше, чем на поверхности Земли, то есть найти отношение $\frac{g_З}{g_Л}$.

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности сферического небесного тела определяется по формуле, которая следует из закона всемирного тяготения Ньютона:

$g = G \frac{M}{R^2}$,

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса тела, а $\text{R}$ — его радиус.

Запишем формулы для ускорения свободного падения на поверхностях Земли ($g_З$) и Луны ($g_Л$):

$g_З = G \frac{M_З}{R_З^2}$

$g_Л = G \frac{M_Л}{R_Л^2}$

Чтобы найти, во сколько раз ускорение на Земле больше, чем на Луне, найдем их отношение:

$\frac{g_З}{g_Л} = \frac{G \frac{M_З}{R_З^2}}{G \frac{M_Л}{R_Л^2}}$

Гравитационная постоянная $\text{G}$ сокращается, и формула принимает вид:

$\frac{g_З}{g_Л} = \frac{M_З}{M_Л} \cdot \frac{R_Л^2}{R_З^2} = \frac{M_З}{M_Л} \cdot \left(\frac{R_Л}{R_З}\right)^2$

Теперь подставим числовые значения из справочных данных:

$\frac{g_З}{g_Л} = \frac{5.972 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{7.342 \cdot 10^{22} \text{ кг}} \cdot \left(\frac{1.737 \cdot 10^6 \text{ м}}{6.371 \cdot 10^6 \text{ м}}\right)^2$

Вычислим отношение масс и отношение радиусов:

$\frac{M_З}{M_Л} \approx 81.34$

$\frac{R_Л}{R_З} \approx 0.2726$

Подставим эти значения обратно в формулу:

$\frac{g_З}{g_Л} \approx 81.34 \cdot (0.2726)^2 \approx 81.34 \cdot 0.0743 \approx 6.04$

Таким образом, ускорение свободного падения на Земле примерно в 6 раз больше, чем на Луне.

Ответ: Ускорение свободного падения на поверхности Луны примерно в 6 раз меньше, чем на поверхности Земли.