Номер 1, страница 120 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 2. Динамика. Параграф 15. Примеры решения задач по динамике - номер 1, страница 120.

Условие.

1. Напишите уравнение второго закона Ньютона для движения искусственного спутника по околоземной орбите. Используя это уравнение, найдите значение первой космической скорости.

Решение.

Уравнение второго закона Ньютона для движения искусственного спутника по околоземной орбите

Рассмотрим искусственный спутник массой $\text{m}$, который движется по круговой околоземной орбите радиусом $\text{r}$ со скоростью $\text{v}$. В условиях космоса, пренебрегая сопротивлением разреженной атмосферы, на спутник действует только одна сила — сила гравитационного притяжения Земли $F_g$. Эта сила направлена к центру Земли и сообщает спутнику центростремительное ускорение $a_c$, которое необходимо для движения по окружности.

Второй закон Ньютона гласит, что равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение: $ \vec{F} = m\vec{a} $.

В нашем случае силой $\text{F}$ является сила всемирного тяготения:$ F_g = G \frac{Mm}{r^2} $, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли.

Ускорением $\text{a}$ является центростремительное ускорение:$ a_c = \frac{v^2}{r} $.

Приравнивая силу гравитации к произведению массы спутника на его центростремительное ускорение, мы получаем искомое уравнение движения:$ G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r} $

Ответ: Уравнение второго закона Ньютона для движения искусственного спутника по околоземной орбите имеет вид $ G \frac{Mm}{r^2} = m \frac{v^2}{r} $, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса спутника, $\text{r}$ — радиус орбиты, $\text{v}$ — скорость движения спутника.

Нахождение значения первой космической скорости

Первая космическая скорость ($v_1$) — это минимальная скорость, которую нужно сообщить объекту у поверхности планеты в горизонтальном направлении, чтобы он стал её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Для такого случая радиус орбиты $\text{r}$ можно считать равным радиусу Земли $R_З$.

Дано:

Ускорение свободного падения у поверхности Земли, $g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2$
Средний радиус Земли, $R_З \approx 6371 \, \text{км}$

Перевод в систему СИ:
$R_З = 6371 \, \text{км} = 6.371 \times 10^6 \, \text{м}$

Найти:

$v_1$ — первая космическая скорость.

Решение:

Воспользуемся уравнением второго закона Ньютона для спутника:$ G \frac{M_Зm}{r^2} = m \frac{v^2}{r} $

Сократим массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{r}$ в знаменателе:$ G \frac{M_З}{r} = v^2 $

Отсюда скорость спутника на круговой орбите радиусом $\text{r}$:$ v = \sqrt{\frac{GM_З}{r}} $

Для нахождения первой космической скорости принимаем, что спутник движется вблизи поверхности Земли, то есть $r \approx R_З$:$ v_1 = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}} $

Для удобства вычислений выразим произведение $GM_З$ через ускорение свободного падения $\text{g}$. У поверхности Земли сила тяжести $mg$ равна гравитационной силе $G \frac{M_Зm}{R_З^2}$. Отсюда следует, что $g = \frac{GM_З}{R_З^2}$, а значит $GM_З = gR_З^2$.

Подставим это выражение в формулу для $v_1$:$ v_1 = \sqrt{\frac{gR_З^2}{R_З}} = \sqrt{gR_З} $

Теперь подставим числовые значения:$ v_1 = \sqrt{9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot 6.371 \times 10^6 \, \text{м}} \approx \sqrt{62500000 \, (\text{м/с})^2} \approx 7906 \, \text{м/с} $

Переводя в километры в секунду и округляя, получаем:$ v_1 \approx 7.9 \, \text{км/с} $

Ответ: Значение первой космической скорости для Земли составляет приблизительно $7.9 \, \text{км/с}$.