Номер 5, страница 121 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 2. Динамика. Параграф 15. Примеры решения задач по динамике - номер 5, страница 121.

Условие.

5.Каков период обращения искусственного спутника, если он находится от поверхности Земли на расстоянии, равном радиусу Земли?

Решение.

Дано:

Высота спутника над поверхностью Земли: $h = R_З$

Средний радиус Земли: $R_З \approx 6.37 \cdot 10^6$ м

Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Период обращения спутника $\text{T}$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите. Единственной силой, действующей на него, является сила гравитационного притяжения Земли. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_т = m a_ц$

где $\text{m}$ – масса спутника, $a_ц$ – центростремительное ускорение.

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_т = G \frac{M_З m}{r^2}$

Здесь $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $M_З$ – масса Земли, а $\text{r}$ – радиус орбиты спутника. Радиус орбиты равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью $\text{h}$:

$r = R_З + h$

По условию задачи $h = R_З$, следовательно, радиус орбиты:

$r = R_З + R_З = 2R_З$

Центростремительное ускорение связано с периодом обращения $\text{T}$ и радиусом орбиты $\text{r}$ следующим соотношением:

$a_ц = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Приравняем выражения для силы:

$G \frac{M_З m}{r^2} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Подставим $r = 2R_З$ и сократим массу спутника $\text{m}$:

$G \frac{M_З}{(2R_З)^2} = \frac{4\pi^2 (2R_З)}{T^2}$

$G \frac{M_З}{4R_З^2} = \frac{8\pi^2 R_З}{T^2}$

Выразим отсюда квадрат периода обращения $T^2$:

$T^2 = \frac{4R_З^2 \cdot 8\pi^2 R_З}{G M_З} = \frac{32\pi^2 R_З^3}{G M_З}$

Для упрощения расчетов воспользуемся тем, что ускорение свободного падения у поверхности Земли $\text{g}$ связано с массой и радиусом Земли формулой $g = G \frac{M_З}{R_З^2}$. Отсюда можно выразить произведение $G M_З = g R_З^2$. Подставим это выражение в формулу для $T^2$:

$T^2 = \frac{32\pi^2 R_З^3}{g R_З^2} = \frac{32\pi^2 R_З}{g}$

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти период $\text{T}$:

$T = \sqrt{\frac{32\pi^2 R_З}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{8R_З}{g}}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$T = 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{8 \cdot 6.37 \cdot 10^6 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 6.28 \cdot \sqrt{\frac{50.96 \cdot 10^6}{9.8}} \text{ с} \approx 6.28 \cdot \sqrt{5.2 \cdot 10^6} \text{ с}$

$T \approx 6.28 \cdot 2280 \text{ с} \approx 14318 \text{ с}$

Для наглядности можно перевести это время в часы. В одном часе 3600 секунд:

$T \approx \frac{14318}{3600} \text{ ч} \approx 3.98 \text{ ч}$

Ответ:

Период обращения искусственного спутника составляет примерно $14318$ с, что равно приблизительно $3.98$ ч.