Номер 4, страница 121 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 2. Динамика. Параграф 15. Примеры решения задач по динамике - номер 4, страница 121.

Условие.

4. На книге лежит брусок. На какой угол надо наклонить книгу, чтобы брусок начал скользить по ней? Коэффициент трения между книгой и бруском равен 0,5.

Решение.

Дано:

Коэффициент трения между книгой и бруском, $\mu = 0,5$.

Найти:

Угол наклона книги, $\alpha$.

Решение:

На брусок, находящийся на наклонной плоскости (книге), действуют три силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно поверхности книги; и сила трения покоя $F_{тр}$, направленная вдоль поверхности книги вверх, противоположно возможному направлению движения.

Выберем систему координат, в которой ось $OX$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $OY$ – перпендикулярно ей вверх.

Разложим силу тяжести $mg$ на две составляющие:
1. Скатывающая сила, параллельная наклонной плоскости: $F_{ск} = mg \sin(\alpha)$. Эта сила стремится сдвинуть брусок вниз.
2. Сила, перпендикулярная наклонной плоскости: $F_{\perp} = mg \cos(\alpha)$. Эта сила прижимает брусок к книге.

Брусок начнет скользить, когда скатывающая сила станет равной максимальной силе трения покоя. Запишем это условие:

$F_{ск} = F_{тр, макс}$

Максимальная сила трения покоя вычисляется по формуле:

$F_{тр, макс} = \mu N$

где $\mu$ – коэффициент трения, а $\text{N}$ – сила нормальной реакции.

Поскольку брусок не движется перпендикулярно поверхности, сумма сил в проекции на ось $OY$ равна нулю:

$N - mg \cos(\alpha) = 0$

Отсюда выразим силу нормальной реакции:

$N = mg \cos(\alpha)$

Теперь подставим выражение для $\text{N}$ в формулу для максимальной силы трения:

$F_{тр, макс} = \mu mg \cos(\alpha)$

Приравняем скатывающую силу и максимальную силу трения покоя, используя условие начала скольжения:

$mg \sin(\alpha) = \mu mg \cos(\alpha)$

Масса $\text{m}$ и ускорение свободного падения $\text{g}$ сокращаются:

$\sin(\alpha) = \mu \cos(\alpha)$

Разделив обе части уравнения на $\cos(\alpha)$, получим:

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \mu$

Так как отношение синуса к косинусу равно тангенсу, имеем:

$\tan(\alpha) = \mu$

Подставим известное значение коэффициента трения $\mu = 0,5$:

$\tan(\alpha) = 0,5$

Найдем угол $\alpha$ как арктангенс этого значения:

$\alpha = \arctan(0,5) \approx 26,6^{\circ}$

Ответ: чтобы брусок начал скользить, книгу надо наклонить на угол примерно $26,6^{\circ}$.