Номер 6, страница 121 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 2. Динамика. Параграф 15. Примеры решения задач по динамике - номер 6, страница 121.

Условие.

6. Оцените, чему равна первая космическая скорость для Луны. Для оценки примите, что масса Луны в 80 раз меньше массы Земли, а радиус Луны в 4 раза меньше радиуса Земли.

Решение.

Дано:

$M_Л = \frac{M_З}{80}$

$R_Л = \frac{R_З}{4}$

Первая космическая скорость для Земли $v_{1З} \approx 7.9 \text{ км/с} = 7900 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{1Л}$ - ?

Решение:

Первая космическая скорость для небесного тела (скорость, необходимая для выхода на круговую орбиту у его поверхности) вычисляется по формуле:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса небесного тела, $\text{R}$ – его радиус.

Запишем формулу для первой космической скорости для Земли ($v_{1З}$) и для Луны ($v_{1Л}$):

$v_{1З} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

$v_{1Л} = \sqrt{\frac{GM_Л}{R_Л}}$

Теперь выразим скорость для Луны через скорость для Земли, используя данные в условии соотношения масс и радиусов:

$v_{1Л} = \sqrt{\frac{G(M_З/80)}{R_З/4}} = \sqrt{\frac{GM_З}{80} \cdot \frac{4}{R_З}} = \sqrt{\frac{4}{80} \cdot \frac{GM_З}{R_З}} = \sqrt{\frac{1}{20} \cdot \frac{GM_З}{R_З}}$

Мы видим, что выражение под корнем $\frac{GM_З}{R_З}$ равно квадрату первой космической скорости для Земли ($v_{1З}^2$). Таким образом, мы можем записать:

$v_{1Л} = \sqrt{\frac{1}{20}} \cdot \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}} = \frac{1}{\sqrt{20}} \cdot v_{1З}$

Подставим известное значение первой космической скорости для Земли ($v_{1З} \approx 7.9 \text{ км/с}$) и вычислим значение для Луны:

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \approx 2 \cdot 2.236 \approx 4.472$

$v_{1Л} \approx \frac{7.9 \text{ км/с}}{4.472} \approx 1.766 \text{ км/с}$

Округляя результат, получаем, что первая космическая скорость для Луны составляет примерно 1.7 км/с.

Ответ: первая космическая скорость для Луны примерно равна 1.7 км/с.