Номер 9, страница 121 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 2. Динамика. Параграф 15. Примеры решения задач по динамике - номер 9, страница 121.

Условие.

9. Каков минимальный радиус окружности, по которой может ехать автомобиль со скоростью 60 км/ч? Найдите сами в учебнике нужные вам дополнительные данные.

Решение.

Для решения этой задачи необходимо использовать дополнительное данное — коэффициент трения шин автомобиля о поверхность дороги. Это значение зависит от состояния дороги (сухая или мокрая) и материала покрытия (асфальт, бетон). В условии это не указано, поэтому примем стандартное значение для сухой асфальтовой дороги.

Дано:

Скорость автомобиля, $v = 60 \text{ км/ч}$

Коэффициент трения скольжения шин о сухой асфальт (справочное значение), $\mu \approx 0.7$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Перевод всех данных в систему СИ:

$v = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{3} \text{ м/с} \approx 16.67 \text{ м/с}$

Найти:

Минимальный радиус окружности $R_{min}$

Решение:

Когда автомобиль движется по дуге окружности, на него действует центростремительная сила, которая направлена к центру этой окружности. В данном случае роль центростремительной силы выполняет сила трения покоя между шинами автомобиля и дорожным покрытием.

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила $F_c$ связана с массой автомобиля $\text{m}$, его скоростью $\text{v}$ и радиусом окружности $\text{R}$ следующим соотношением:

$F_c = m a_c = m \frac{v^2}{R}$

Сила трения покоя $F_{тр}$ не может превышать своего максимального значения $F_{тр.макс}$, которое определяется как:

$F_{тр.макс} = \mu N$

где $\mu$ - коэффициент трения, а $\text{N}$ - сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной дороге сила реакции опоры по модулю равна силе тяжести $mg$:

$N = mg$

Таким образом, $F_{тр.макс} = \mu mg$.

Для того чтобы автомобиль не сорвался в занос, центростремительная сила не должна превышать максимальную силу трения покоя:

$m \frac{v^2}{R} \le \mu mg$

Минимальный радиус поворота $R_{min}$ соответствует предельному случаю, когда требуемая центростремительная сила равна максимальной силе трения:

$m \frac{v^2}{R_{min}} = \mu mg$

Мы можем сократить массу автомобиля $\text{m}$ в обеих частях уравнения и выразить $R_{min}$:

$R_{min} = \frac{v^2}{\mu g}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$R_{min} = \frac{(\frac{50}{3} \text{ м/с})^2}{0.7 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{\frac{2500}{9} \text{ м}^2/\text{с}^2}{6.86 \text{ м/с}^2} \approx \frac{277.78 \text{ м}^2/\text{с}^2}{6.86 \text{ м/с}^2} \approx 40.5 \text{ м}$

Ответ: Минимальный радиус окружности, по которой может ехать автомобиль со скоростью 60 км/ч, составляет примерно 40.5 м.