Номер 3, страница 121 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 2. Динамика. Параграф 15. Примеры решения задач по динамике - номер 3, страница 121.

Условие.

3. Два спутника движутся вокруг Земли по круговым орбитам. Радиус орбиты первого спутника больше, чем радиус орбиты второго спутника. У какого спутника скорость больше?

Решение.

Дано:

Два спутника движутся по круговым орбитам вокруг Земли.

Радиус орбиты первого спутника - $r_1$.

Радиус орбиты второго спутника - $r_2$.

Известно, что $r_1 > r_2$.

Найти:

У какого спутника скорость больше, то есть сравнить $v_1$ и $v_2$.

Решение:

Движение спутника по круговой орбите обеспечивается силой всемирного тяготения, которая действует как центростремительная сила. Согласно второму закону Ньютона, мы можем записать равенство этих сил:

$F_{тяготения} = F_{центростремительная}$

Сила всемирного тяготения между Землей (массой $\text{M}$) и спутником (массой $\text{m}$) на расстоянии $\text{r}$ от центра Земли определяется формулой:

$F_{тяготения} = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

Центростремительная сила, необходимая для движения спутника по круговой орбите радиусом $\text{r}$ со скоростью $\text{v}$, равна:

$F_{центростремительная} = \frac{m \cdot v^2}{r}$

Приравняем правые части уравнений:

$G \frac{M \cdot m}{r^2} = \frac{m \cdot v^2}{r}$

В этом уравнении можно сократить массу спутника $\text{m}$ и одну степень радиуса $\text{r}$:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Выразим отсюда скорость спутника $\text{v}$ (которая называется первой космической скоростью для данной высоты):

$v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$

Из полученной формулы видно, что скорость спутника $\text{v}$ обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса орбиты $\text{r}$. Это означает, что чем больше радиус орбиты, тем меньше скорость движения спутника.

По условию задачи радиус орбиты первого спутника больше радиуса орбиты второго: $r_1 > r_2$.

Следовательно, скорость первого спутника будет меньше скорости второго: $v_1 < v_2$.

Ответ: Скорость больше у второго спутника.