Номер 7, страница 121 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 2. Динамика. Параграф 15. Примеры решения задач по динамике - номер 7, страница 121.

Условие.

7. Два спутника движутся вокруг Земли по круговым орбитам. Радиус орбиты первого спутника в 4 раза больше, чем радиус орбиты второго спутника. У какого спутника период обращения больше? Во сколько раз больше?

Решение.

Дано:

Два спутника на круговых орбитах вокруг Земли.

Отношение радиусов орбит: $\frac{R_1}{R_2} = 4$, где $R_1$ и $R_2$ — радиусы орбит первого и второго спутников соответственно.

Найти:

1. У какого спутника период обращения больше?

2. Во сколько раз больше период, то есть найти отношение $\frac{T_1}{T_2}$.

Решение:

Движение спутника по круговой орбите вокруг Земли происходит под действием силы всемирного тяготения, которая выполняет роль центростремительной силы. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{цс} = F_{g}$

где $F_{цс}$ — центростремительная сила, а $F_{g}$ — гравитационная сила.

Центростремительная сила, действующая на спутник массой $\text{m}$, движущийся со скоростью $\text{v}$ по орбите радиусом $\text{R}$, равна:

$F_{цс} = \frac{m v^2}{R}$

Гравитационная сила, действующая на спутник со стороны Земли (массой $\text{M}$), равна:

$F_{g} = G \frac{M m}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

Приравнивая эти две силы, получаем:

$\frac{m v^2}{R} = G \frac{M m}{R^2}$

Сократив массу спутника $\text{m}$ и радиус $\text{R}$, получим выражение для квадрата скорости:

$v^2 = G \frac{M}{R}$

Скорость движения по круговой орбите связана с периодом обращения $\text{T}$ (время одного полного оборота) и радиусом орбиты $\text{R}$ следующим соотношением:

$v = \frac{2 \pi R}{T}$

Подставим это выражение для скорости в предыдущую формулу:

$\left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2 = G \frac{M}{R}$

$\frac{4 \pi^2 R^2}{T^2} = G \frac{M}{R}$

Выразим из этого уравнения квадрат периода $T^2$:

$T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{G M}$

Это соотношение известно как третий закон Кеплера. Из него видно, что квадрат периода обращения спутника прямо пропорционален кубу радиуса его орбиты ($T^2 \sim R^3$), так как величина $\frac{4 \pi^2}{G M}$ является константой для всех спутников Земли.

Запишем соотношение для двух спутников:

$\frac{T_1^2}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{R_2^3}$

Отсюда найдем отношение квадратов их периодов:

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$

По условию задачи, радиус орбиты первого спутника в 4 раза больше радиуса орбиты второго: $\frac{R_1}{R_2} = 4$. Подставим это значение в формулу:

$\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = 4^3 = 64$

Чтобы найти отношение периодов, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{64} = 8$

Так как отношение $\frac{T_1}{T_2} = 8 > 1$, то $T_1 > T_2$. Это означает, что период обращения первого спутника больше, чем у второго.

Ответ:

Период обращения больше у первого спутника. Период обращения первого спутника в 8 раз больше, чем период обращения второго спутника.