Номер 8, страница 236 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Молекулярная физика и термодинамика. Глава 5. Молекулярная физика. Параграф 29. Примеры решения задач по молекулярной физике - номер 8, страница 236.

Условие.

8. Выведите уравнение Клапейрона, используя уравнения изотермического и изобарного процессов.

Решение.

Решение

Уравнение Клапейрона, также известное как объединенный газовый закон, связывает давление, объем и абсолютную температуру для постоянной массы газа. Его можно вывести, рассмотрев последовательный переход газа из одного состояния в другое через два изопроцесса: изотермический и изобарный.

Рассмотрим переход некоторой массы идеального газа из начального состояния 1, характеризуемого параметрами $P_1$ (давление), $V_1$ (объем) и $T_1$ (температура), в конечное состояние 2 с параметрами $P_2, V_2, T_2$. Этот переход можно мысленно осуществить в два этапа через промежуточное состояние X.

Этап 1: Изотермический процесс (переход 1 → X)

На первом этапе будем изменять давление газа от начального $P_1$ до конечного $P_2$, поддерживая температуру постоянной и равной $T_1$. Это изотермический процесс. Параметры газа в промежуточном состоянии X будут: давление $P_X = P_2$, температура $T_X = T_1$. Объем при этом изменится от $V_1$ до некоторого промежуточного значения $V_X$.

Согласно закону Бойля–Мариотта для изотермического процесса ($T = \text{const}$), произведение давления газа на его объем есть величина постоянная:

$P_1 V_1 = P_X V_X$

Подставив в это уравнение $P_X = P_2$, получим:

$P_1 V_1 = P_2 V_X$

Из этого соотношения выразим промежуточный объем $V_X$:

$V_X = \frac{P_1 V_1}{P_2} \quad (1)$

Этап 2: Изобарный процесс (переход X → 2)

На втором этапе будем изменять температуру газа от $T_X = T_1$ до конечной температуры $T_2$, поддерживая давление постоянным и равным $P_2$. Это изобарный процесс, который переводит газ из состояния X в конечное состояние 2. В конце этого процесса объем газа станет равным $V_2$.

Согласно закону Гей-Люссака для изобарного процесса ($P = \text{const}$), отношение объема газа к его абсолютной температуре есть величина постоянная:

$\frac{V_X}{T_X} = \frac{V_2}{T_2}$

Учитывая, что из первого этапа $T_X = T_1$, уравнение примет вид:

$\frac{V_X}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \quad (2)$

Объединение результатов

Теперь, чтобы связать начальное и конечное состояния, подставим выражение для промежуточного объема $V_X$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$\frac{1}{T_1} \left( \frac{P_1 V_1}{P_2} \right) = \frac{V_2}{T_2}$

Преобразуем полученное выражение, сгруппировав параметры, относящиеся к одному состоянию, в одной части уравнения. Для этого сначала запишем его в виде:

$\frac{P_1 V_1}{P_2 T_1} = \frac{V_2}{T_2}$

Затем умножим обе части на $P_2$:

$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$

Это уравнение и есть уравнение Клапейрона. Оно показывает, что для данной массы газа отношение произведения давления на объем к абсолютной температуре является постоянной величиной.

$\frac{PV}{T} = \text{const}$

Ответ: Уравнение Клапейрона, выведенное с использованием уравнений изотермического и изобарного процессов, имеет вид $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$, что эквивалентно записи $\frac{PV}{T} = \text{const}$.