Номер 38, страница 62, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 38, страница 62.

Условие.

38. Колесо радиусом $\text{r}$ катится без проскальзывания по горизонтальной дороге со скоростью $v_0$. Найдите модуль ускорения точки $\text{A}$ в момент времени, изображённый на рисунке 5.14. С какими по модулю ускорениями будут двигаться верхняя и нижняя точки колеса?

Рис. 5.14

Решение 2.

Дано:

Радиус колеса: $\text{r}$

Скорость центра колеса: $v_0$

Колесо катится без проскальзывания, $v_0 = \text{const}$

Найти:

$a_A$ - модуль ускорения точки A

$a_{в}$, $a_{н}$ - модули ускорения верхней и нижней точек колеса

Решение:

Движение колеса можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс $v_0$ и вращательного движения вокруг центра масс с угловой скоростью $\omega$.

Ускорение любой точки $\text{P}$ на ободе колеса равно векторной сумме ускорения центра масс (точки $\text{O}$) и ускорения точки $\text{P}$ относительно центра масс:

$\vec{a}_P = \vec{a}_O + \vec{a}_{PO}$

Поскольку колесо движется с постоянной скоростью $v_0$, ускорение его центра масс равно нулю: $\vec{a}_O = 0$.

Следовательно, ускорение любой точки на ободе равно её ускорению относительно центра колеса: $\vec{a}_P = \vec{a}_{PO}$.

Движение точки на ободе относительно центра является равномерным вращением по окружности радиуса $\text{r}$. При таком движении точка имеет только центростремительное (нормальное) ускорение, направленное к центру окружности (к точке $\text{O}$). Тангенциальное ускорение равно нулю, так как угловая скорость $\omega$ постоянна.

Условие качения без проскальзывания связывает линейную скорость центра $v_0$ и угловую скорость вращения $\omega$: $v_0 = \omega r$. Отсюда $\omega = v_0 / r$.

Величина центростремительного ускорения $a_ц$ для любой точки на ободе вычисляется по формуле:

$a_ц = \omega^2 r = (\frac{v_0}{r})^2 r = \frac{v_0^2}{r^2} r = \frac{v_0^2}{r}$

Это ускорение всегда направлено к центру колеса.

Модуль ускорения точки А

Для точки A, показанной на рисунке, ускорение равно её центростремительному ускорению относительно центра O. Оно направлено от точки A к центру O (горизонтально влево). Модуль этого ускорения равен:

$a_A = a_ц = \frac{v_0^2}{r}$

Ответ: $a_A = \frac{v_0^2}{r}$.

Ускорения верхней и нижней точек колеса

Рассуждения для верхней и нижней точек колеса аналогичны. Их ускорение также является центростремительным и направлено к центру колеса O.

Для верхней точки ускорение направлено вертикально вниз. Его модуль равен:

$a_{в} = a_ц = \frac{v_0^2}{r}$

Для нижней точки ускорение направлено вертикально вверх. Его модуль равен:

$a_{н} = a_ц = \frac{v_0^2}{r}$

Таким образом, модули ускорений верхней и нижней точек одинаковы.

Ответ: Верхняя и нижняя точки колеса будут двигаться с ускорениями, модуль которых одинаков и равен $\frac{v_0^2}{r}$.