Номер 37, страница 62, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 37, страница 62.

Условие.

37. Пропеллер самолёта совершает 2000 оборотов в минуту, длина лопасти пропеллера 1,5 м. Чему равна скорость точки на конце лопасти пропеллера относительно земли, когда самолёт летит со скоростью 500 км/ч? Нарисуйте примерную траекторию движения этой точки относительно земли.

Решение 2.

Дано:

Частота вращения пропеллера, $n = 2000$ об/мин

Длина лопасти (радиус вращения), $R = 1,5$ м

Скорость самолёта, $v_{сам} = 500$ км/ч

Перевод в систему СИ:

Частоту вращения $\text{n}$ переведем в угловую скорость $\omega$. Сначала найдем частоту в оборотах в секунду ($\text{f}$):

$f = \frac{2000 \text{ об}}{60 \text{ с}} = \frac{100}{3}$ об/с (Гц)

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой $\text{f}$ соотношением $\omega = 2 \pi f$:

$\omega = 2 \pi \cdot \frac{100}{3} = \frac{200\pi}{3}$ рад/с.

Скорость самолёта $v_{сам}$ переведем в м/с:

$v_{сам} = 500 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 500 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5000}{36} \text{ м/с} = \frac{1250}{9} \approx 138,89$ м/с.

Найти:

Скорость точки на конце лопасти относительно земли, $v_{полн}$ - ?

Примерную траекторию движения этой точки.

Решение:

Движение точки на конце лопасти пропеллера является сложным. Оно состоит из двух независимых движений: вращательного движения вокруг оси пропеллера и поступательного движения вместе с самолётом. Скорость точки относительно земли ($ \vec{v}_{полн} $) является векторной суммой скорости поступательного движения самолёта ($ \vec{v}_{сам} $) и линейной скорости вращательного движения точки ($ \vec{v}_{вращ} $):

$ \vec{v}_{полн} = \vec{v}_{сам} + \vec{v}_{вращ} $

Ось вращения пропеллера совпадает с направлением движения самолёта, поэтому пропеллер вращается в плоскости, перпендикулярной вектору скорости самолёта. Это означает, что вектор скорости самолёта $ \vec{v}_{сам} $ в любой момент времени перпендикулярен вектору линейной скорости вращения точки $ \vec{v}_{вращ} $. Следовательно, модуль результирующей скорости можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, где $v_{сам}$ и $v_{вращ}$ являются катетами, а $v_{полн}$ — гипотенузой.

$ v_{полн} = \sqrt{v_{сам}^2 + v_{вращ}^2} $

Сначала найдем модуль линейной скорости вращения точки на конце лопасти. Она вычисляется по формуле:

$ v_{вращ} = \omega R $

Подставим значения, переведенные в систему СИ:

$ v_{вращ} = \frac{200\pi}{3} \text{ рад/с} \cdot 1,5 \text{ м} = \frac{200\pi}{3} \cdot \frac{3}{2} \text{ м/с} = 100\pi \text{ м/с} $

Примем значение $\pi \approx 3,1416$:

$ v_{вращ} \approx 100 \cdot 3,1416 = 314,16 $ м/с.

Теперь мы можем вычислить полную скорость точки относительно земли:

$ v_{полн} = \sqrt{(138,89 \text{ м/с})^2 + (314,16 \text{ м/с})^2} \approx \sqrt{19290 \text{ м}^2/\text{с}^2 + 98696 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx \sqrt{117986 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 343,5 $ м/с.

Траектория движения точки на конце лопасти относительно земли представляет собой винтовую линию (спираль). Точка одновременно движется вперёд с постоянной скоростью самолёта и вращается по окружности в плоскости, перпендикулярной этому движению.

Примерная траектория движения точки (вид сбоку):

Ответ: Скорость точки на конце лопасти пропеллера относительно земли равна примерно $343,5$ м/с. Траектория движения этой точки относительно земли является винтовой линией.