Номер 30, страница 61, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 30, страница 61.

Условие.

30. Сравните центростремительные ускорения двух тел, равномерно движущихся по окружностям радиусами 1 м и 10 см, если:

а) скорости тел одинаковы;

б) периоды обращения тел одинаковы;

в) частоты обращения тел одинаковы.

Решение 2.

Дано:

Радиус окружности для первого тела: $R_1 = 1 \text{ м}$

Радиус окружности для второго тела: $R_2 = 10 \text{ см}$

Переведем все данные в систему СИ:

$R_2 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

Сравнить центростремительные ускорения первого ($a_1$) и второго ($a_2$) тел для трех различных условий.

Решение:

Центростремительное ускорение ($a_ц$) тела, движущегося по окружности, можно вычислить по нескольким формулам в зависимости от известных величин:

1. Через линейную скорость $\text{v}$: $a_ц = \frac{v^2}{R}$

2. Через период обращения $\text{T}$: $a_ц = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

3. Через частоту обращения $\text{f}$: $a_ц = 4\pi^2 f^2 R$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) скорости тел одинаковы

Если линейные скорости тел равны ($v_1 = v_2 = v$), то для сравнения ускорений воспользуемся формулой $a_ц = \frac{v^2}{R}$.

Ускорение первого тела: $a_1 = \frac{v^2}{R_1}$

Ускорение второго тела: $a_2 = \frac{v^2}{R_2}$

Найдем отношение ускорений. Так как ускорение обратно пропорционально радиусу при одинаковой скорости, ускорение второго тела будет больше. Найдем отношение большего ускорения к меньшему:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{v^2/R_2}{v^2/R_1} = \frac{R_1}{R_2}$

Подставим числовые значения:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{1 \text{ м}}{0,1 \text{ м}} = 10$

Это означает, что $a_2 = 10a_1$.

Ответ: при одинаковых скоростях центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом 10 см, в 10 раз больше, чем у тела, движущегося по окружности радиусом 1 м.

б) периоды обращения тел одинаковы

Если периоды обращения тел равны ($T_1 = T_2 = T$), для сравнения ускорений используем формулу $a_ц = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.

Ускорение первого тела: $a_1 = \frac{4\pi^2 R_1}{T^2}$

Ускорение второго тела: $a_2 = \frac{4\pi^2 R_2}{T^2}$

Найдем отношение ускорений. Так как ускорение прямо пропорционально радиусу при одинаковом периоде, ускорение первого тела будет больше. Найдем отношение большего ускорения к меньшему:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4\pi^2 R_1/T^2}{4\pi^2 R_2/T^2} = \frac{R_1}{R_2}$

Подставим числовые значения:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1 \text{ м}}{0,1 \text{ м}} = 10$

Это означает, что $a_1 = 10a_2$.

Ответ: при одинаковых периодах обращения центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом 1 м, в 10 раз больше, чем у тела, движущегося по окружности радиусом 10 см.

в) частоты обращения тел одинаковы

Если частоты обращения тел равны ($f_1 = f_2 = f$), для сравнения ускорений используем формулу $a_ц = 4\pi^2 f^2 R$.

Ускорение первого тела: $a_1 = 4\pi^2 f^2 R_1$

Ускорение второго тела: $a_2 = 4\pi^2 f^2 R_2$

Найдем отношение ускорений. Так как ускорение прямо пропорционально радиусу при одинаковой частоте, ускорение первого тела будет больше. Найдем отношение большего ускорения к меньшему:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{4\pi^2 f^2 R_1}{4\pi^2 f^2 R_2} = \frac{R_1}{R_2}$

Подставим числовые значения:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1 \text{ м}}{0,1 \text{ м}} = 10$

Это означает, что $a_1 = 10a_2$.

Ответ: при одинаковых частотах обращения центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом 1 м, в 10 раз больше, чем у тела, движущегося по окружности радиусом 10 см.