Номер 32, страница 61, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 32, страница 61.

Условие.

32. Часовая и минутная стрелки часов имеют длину 10 см и 15 см соответственно. Поставьте три вопроса по этой ситуации и найдите ответы на них.

Решение 2.

Вопрос 1: Каковы линейные скорости концов часовой и минутной стрелок?

Дано:

Длина часовой стрелки, $R_ч = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Длина минутной стрелки, $R_м = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

$v_ч$ - линейная скорость конца часовой стрелки

$v_м$ - линейная скорость конца минутной стрелки

Решение:

Линейная скорость $\text{v}$ точки на вращающемся теле связана с угловой скоростью $\omega$ и расстоянием до оси вращения (радиусом) $\text{R}$ соотношением $v = \omega R$. Угловая скорость, в свою очередь, определяется как $\omega = \frac{2\pi}{T}$, где $\text{T}$ — период обращения.

Найдем периоды обращения для каждой стрелки в системе СИ (секундах).

Часовая стрелка совершает полный оборот за 12 часов.

$T_ч = 12 \text{ ч} = 12 \times 3600 \text{ с} = 43200 \text{ с}$

Минутная стрелка совершает полный оборот за 60 минут (1 час).

$T_м = 60 \text{ мин} = 60 \times 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$

Теперь рассчитаем угловые скорости:

$\omega_ч = \frac{2\pi}{T_ч} = \frac{2\pi}{43200} \text{ рад/с} \approx 1.45 \times 10^{-4} \text{ рад/с}$

$\omega_м = \frac{2\pi}{T_м} = \frac{2\pi}{3600} \text{ рад/с} \approx 1.75 \times 10^{-3} \text{ рад/с}$

Наконец, вычислим линейные скорости концов стрелок:

$v_ч = \omega_ч \times R_ч \approx 1.45 \times 10^{-4} \text{ рад/с} \times 0.1 \text{ м} \approx 1.45 \times 10^{-5} \text{ м/с}$

$v_м = \omega_м \times R_м \approx 1.75 \times 10^{-3} \text{ рад/с} \times 0.15 \text{ м} \approx 2.62 \times 10^{-4} \text{ м/с}$

Ответ: линейная скорость конца часовой стрелки примерно равна $1.45 \times 10^{-5}$ м/с, а минутной — $2.62 \times 10^{-4}$ м/с.

Вопрос 2: Во сколько раз центростремительное ускорение конца минутной стрелки больше центростремительного ускорения конца часовой стрелки?

Дано:

Длина часовой стрелки, $R_ч = 10 \text{ см}$

Длина минутной стрелки, $R_м = 15 \text{ см}$

Период часовой стрелки, $T_ч = 12 \text{ ч}$

Период минутной стрелки, $T_м = 1 \text{ ч}$

Найти:

Отношение ускорений $\frac{a_м}{a_ч}$

Решение:

Центростремительное ускорение $\text{a}$ точки, движущейся по окружности радиуса $\text{R}$ с угловой скоростью $\omega$, вычисляется по формуле $a = \omega^2 R$. Угловая скорость связана с периодом обращения $\text{T}$ как $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Подставив выражение для угловой скорости в формулу ускорения, получим: $a = (\frac{2\pi}{T})^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.

Запишем выражения для ускорений концов минутной ($a_м$) и часовой ($a_ч$) стрелок:

$a_м = \frac{4\pi^2 R_м}{T_м^2}$

$a_ч = \frac{4\pi^2 R_ч}{T_ч^2}$

Теперь найдем их отношение:

$\frac{a_м}{a_ч} = \frac{\frac{4\pi^2 R_м}{T_м^2}}{\frac{4\pi^2 R_ч}{T_ч^2}} = \frac{R_м}{R_ч} \times \frac{T_ч^2}{T_м^2} = \frac{R_м}{R_ч} \times (\frac{T_ч}{T_м})^2$

Подставим известные значения. Для нахождения отношения нет необходимости переводить величины в СИ, так как единицы измерения сократятся.

$\frac{a_м}{a_ч} = \frac{15 \text{ см}}{10 \text{ см}} \times (\frac{12 \text{ ч}}{1 \text{ ч}})^2 = 1.5 \times 12^2 = 1.5 \times 144 = 216$

Ответ: центростремительное ускорение конца минутной стрелки в 216 раз больше, чем у часовой.

Вопрос 3: Какой путь проходят концы часовой и минутной стрелок за сутки (24 часа)?

Дано:

Длина часовой стрелки, $R_ч = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Длина минутной стрелки, $R_м = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Промежуток времени, $t = 24 \text{ ч}$

Найти:

$S_ч$ - путь, пройденный концом часовой стрелки

$S_м$ - путь, пройденный концом минутной стрелки

Решение:

Путь, проходимый концом стрелки, равен произведению длины окружности, описываемой стрелкой, на количество оборотов за заданное время.

Длина окружности (путь за один оборот) вычисляется по формуле $L = 2\pi R$.

Определим количество оборотов для каждой стрелки за 24 часа.

Часовая стрелка совершает один полный оборот за 12 часов. Следовательно, за 24 часа она совершит $n_ч = \frac{24 \text{ ч}}{12 \text{ ч}} = 2$ оборота.

Минутная стрелка совершает один полный оборот за 1 час. Следовательно, за 24 часа она совершит $n_м = \frac{24 \text{ ч}}{1 \text{ ч}} = 24$ оборота.

Теперь рассчитаем общий путь для каждой стрелки.

Путь конца часовой стрелки:

$S_ч = n_ч \times (2\pi R_ч) = 2 \times 2\pi \times 10 \text{ см} = 40\pi \text{ см} \approx 125.7 \text{ см} \approx 1.26 \text{ м}$

Путь конца минутной стрелки:

$S_м = n_м \times (2\pi R_м) = 24 \times 2\pi \times 15 \text{ см} = 720\pi \text{ см} \approx 2262 \text{ см} \approx 22.62 \text{ м}$

Ответ: за 24 часа конец часовой стрелки проходит путь примерно 1.26 м, а конец минутной стрелки — примерно 22.62 м.