Номер 26, страница 60, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 26, страница 60.

Условие.

26. С точки A колеса велосипеда (рис. 5.11) во время езды сры-вается капля воды, пролетает в воздухе и попадает снова на эту же точку колеса. С какой скоростью может ехать велоси-педист? Радиус колеса $\text{r}$ примите равным 30 см. Считайте, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Рис. 5.11

Решение 2.

Дано:

$r = 30$ см

Перевод в систему СИ:
$r = 0.3$ м

Найти:

$\text{v}$ — ?

Решение:

Рассмотрим движение в системе отсчета, связанной с землей. Пусть в начальный момент времени ($t=0$) центр колеса O находится в точке с координатами (0, r), а точка A, из которой срывается капля, находится в положении, указанном на рисунке, то есть в точке с координатами (r, r).

Скорость любой точки на ободе колеса, катящегося без проскальзывания, является векторной суммой скорости центра колеса $\vec{v}$ и линейной скорости вращения точки относительно центра $\vec{v}_{вр}$. Скорость центра колеса направлена горизонтально, и ее модуль равен $\text{v}$. Скорость вращения $\vec{v}_{вр}$ направлена по касательной к окружности колеса, и ее модуль также равен $\text{v}$ (поскольку $\omega = v/r$, то $v_{вр} = \omega r = v$).

Для точки А, находящейся на передней части колеса на высоте центра, вектор $\vec{v}_{вр}$ направлен вертикально вверх. Таким образом, начальная скорость капли воды $\vec{v}_0$ является суммой двух векторов:

$\vec{v}_0 = \vec{v} + \vec{v}_{вр}$

Проекции начальной скорости на оси X и Y будут:

$v_{0x} = v$

$v_{0y} = v$

После отрыва капля движется как тело, брошенное под углом к горизонту, с начальными координатами $x_0 = r$ и $y_0 = r$. Уравнения движения капли:

$x_{к}(t) = x_0 + v_{0x}t = r + vt$

$y_{к}(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = r + vt - \frac{gt^2}{2}$

Теперь найдем координаты точки A на колесе в момент времени $\text{t}$. Центр колеса за время $\text{t}$ сместится в точку с координатами ($vt$, $\text{r}$). Точка A совершит поворот на угол $\theta$ по часовой стрелке относительно центра. Угловая скорость вращения $\omega = v/r$, поэтому угол поворота $\theta = \omega t = \frac{v}{r}t$.

Координаты точки A относительно центра колеса в момент времени $\text{t}$ будут:

$x'_{A}(t) = r \cos(-\theta) = r \cos(\frac{v}{r}t)$

$y'_{A}(t) = r \sin(-\theta) = -r \sin(\frac{v}{r}t)$

Абсолютные координаты точки A в системе отсчета, связанной с землей:

$x_A(t) = vt + x'_{A}(t) = vt + r \cos(\frac{v}{r}t)$

$y_A(t) = r + y'_{A}(t) = r - r \sin(\frac{v}{r}t)$

По условию, в некоторый момент времени $t > 0$ капля снова попадает в точку A. Это означает, что их координаты должны совпасть:

$x_{к}(t) = x_A(t) \implies r + vt = vt + r \cos(\frac{v}{r}t)$

$y_{к}(t) = y_A(t) \implies r + vt - \frac{gt^2}{2} = r - r \sin(\frac{v}{r}t)$

Из первого уравнения получаем:

$r = r \cos(\frac{v}{r}t) \implies \cos(\frac{v}{r}t) = 1$

Это условие выполняется, когда аргумент косинуса равен целому числу оборотов $2\pi k$, где $\text{k}$ - целое положительное число ($k = 1, 2, 3, ...$).

$\frac{v}{r}t = 2\pi k$

Если $\cos(\frac{v}{r}t) = 1$, то $\sin(\frac{v}{r}t) = 0$. Подставим это во второе уравнение:

$r + vt - \frac{gt^2}{2} = r - 0$

$vt - \frac{gt^2}{2} = 0$

Поскольку мы ищем решение для $t > 0$, мы можем разделить обе части на $\text{t}$:

$v - \frac{gt}{2} = 0 \implies v = \frac{gt}{2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{v}{r}t = 2\pi k \\ v = \frac{gt}{2} \end{cases}$

Выразим время $\text{t}$ из второго уравнения $t = \frac{2v}{g}$ и подставим в первое:

$\frac{v}{r}\left(\frac{2v}{g}\right) = 2\pi k$

$\frac{2v^2}{gr} = 2\pi k$

$v^2 = g \pi k r$

$v = \sqrt{g \pi k r}$, где $k = 1, 2, 3, ...$

Это означает, что существует бесконечный набор дискретных скоростей, при которых условие задачи выполняется. Найдем минимальную возможную скорость, соответствующую $k=1$ (когда колесо совершает один полный оборот за время полета капли).

$v_{min} = \sqrt{g \pi \cdot 1 \cdot r} = \sqrt{9.8 \frac{м}{с^2} \cdot \pi \cdot 0.3\text{ м}} \approx \sqrt{9.236} \frac{м}{с} \approx 3.04 \frac{м}{с}$

Ответ: Скорость велосипедиста может принимать значения, определяемые формулой $v_k = \sqrt{g \pi k r}$, где $\text{r}$ - радиус колеса, $\text{g}$ - ускорение свободного падения, а $\text{k}$ - любое целое положительное число ($k=1, 2, 3, ...$). Минимальная возможная скорость составляет примерно $3.04$ м/с.