Номер 19, страница 58, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 19, страница 58.

Условие.

°19. Докажите, что $\omega = \frac{2\pi}{T}$, $\omega = 2\pi\nu$, $v = \omega r$.

Решение 2.

Доказательство формулы $ω = \frac{2\pi}{T}$

Угловая скорость $ω$ по определению — это физическая величина, равная отношению угла поворота тела $Δφ$ к промежутку времени $Δt$, за который этот поворот произошел: $ω = \frac{Δφ}{Δt}$.

Период вращения $\text{T}$ — это время, за которое тело совершает один полный оборот. Угол, соответствующий одному полному обороту, равен $2\pi$ радиан. Таким образом, за время $Δt = T$ тело поворачивается на угол $Δφ = 2\pi$.

Подставим эти значения в определение угловой скорости:

$ω = \frac{2\pi}{T}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $ω = \frac{2\pi}{T}$ доказана.

Доказательство формулы $ω = 2\pi\nu$

Частота вращения $ν$ — это физическая величина, обратная периоду вращения. Она показывает число полных оборотов, совершаемых телом за единицу времени: $ν = \frac{1}{T}$.

Воспользуемся доказанной ранее формулой для угловой скорости: $ω = \frac{2\pi}{T}$.

Перепишем эту формулу в виде: $ω = 2\pi \cdot \frac{1}{T}$.

Теперь подставим в это выражение определение частоты $ν = \frac{1}{T}$:

$ω = 2\pi\nu$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $ω = 2\pi\nu$ доказана.

Доказательство формулы $v = ωr$

Линейная скорость $\text{v}$ при равномерном движении по окружности — это отношение длины дуги $\text{l}$, пройденной точкой, ко времени $\text{t}$, за которое эта дуга пройдена: $v = \frac{l}{t}$.

Длина дуги окружности $\text{l}$ связана с радиусом окружности $\text{r}$ и центральным углом $φ$ (выраженным в радианах), который стягивает эта дуга, соотношением: $l = φ \cdot r$.

Подставим это выражение в формулу для линейной скорости:

$v = \frac{φ \cdot r}{t} = r \cdot \frac{φ}{t}$

Отношение угла поворота $φ$ ко времени $\text{t}$ по определению является угловой скоростью $ω$: $ω = \frac{φ}{t}$.

Подставив $ω$ в предыдущее выражение, получаем искомую связь между линейной и угловой скоростями:

$v = r \cdot ω$, или $v = ωr$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула $v = ωr$ доказана.