Номер 24, страница 59, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава I. Кинематика. Параграф 5. Равномерное движение по окружности - номер 24, страница 59.

Условие.

24. Автомобиль едет с постоянной скоростью $\text{v}$ по прямой дороге.

a) Изобразите схематически колесо автомобиля, катящееся без проскальзывания, и обозначьте на рисунке ось колеса точкой $\text{O}$ и нижнюю точку колеса $\text{A}$, скорость которой равна нулю в системе отсчёта, связанной с дорогой. Изобразите скорость точки $\text{O}$ в системе отсчёта, связанной с дорогой.

б) Сделайте новый рисунок, на котором изобразите скорость точек $\text{O}$ и $\text{A}$ в системе отсчёта, связанной с автомобилем.

в) Изобразите на том же рисунке скорость верхней точки колеса $\text{B}$ в системе отсчёта, связанной с автомобилем.

г) Сделайте новый рисунок, на котором изобразите скорости точек $\text{O}$, $\text{A}$ и $\text{B}$ в системе отсчёта, связанной с дорогой.

Ответ к последнему заданию показывает, что скорость верхней точки колеса относительно дороги в 2 раза больше скорости автомобиля.

Решение 2.

Дано:

Скорость автомобиля: $\text{v}$ = const

Движение колеса: качение без проскальзывания по прямой дороге.

Точки на колесе: O - ось, A - нижняя точка (касающаяся дороги), B - верхняя точка.

Найти:

а) Изобразить скорости точек O и A в системе отсчета (СО), связанной с дорогой.

б) Изобразить скорости точек O и A в СО, связанной с автомобилем.

в) Изобразить скорость точки B в СО, связанной с автомобилем.

г) Изобразить скорости точек O, A и B в СО, связанной с дорогой.

Решение:

Движение колеса, катящегося без проскальзывания, можно представить как сумму двух движений: поступательного движения центра колеса (оси O) со скоростью автомобиля `$\vec{v}$` и вращательного движения всех точек колеса вокруг этого центра с угловой скоростью `$\omega$`. Пусть автомобиль движется вправо.

а) В системе отсчета, связанной с дорогой (неподвижная СО), центр колеса O движется поступательно вместе с автомобилем со скоростью `$\vec{v}$`.
Условие качения без проскальзывания означает, что точка колеса, касающаяся дороги (точка А), в данный момент времени неподвижна относительно дороги. Ее скорость `$v_A = 0$`. Скорость точки А складывается из скорости центра O (`$\vec{v}$`, направлена вправо) и линейной скорости вращения точки A относительно центра O (`$\vec{v}_{\text{вращ, A}}$`, направлена влево). Следовательно, векторы `$\vec{v}$` и `$\vec{v}_{\text{вращ, A}}$` равны по модулю и противоположны по направлению. Отсюда получаем связь линейной и угловой скоростей: `$v = \omega R$`, где `$\text{R}$` – радиус колеса.
Схематический рисунок:
- Колесо (окружность) касается горизонтальной прямой (дороги).
- В центре колеса отмечена точка O. Из нее исходит вектор скорости `$\vec{v}_O$`, направленный вправо, с подписью `$\vec{v}`$.
- В точке касания колеса с дорогой отмечена точка A. У нее указана скорость `$v_A = 0$`.
Ответ: В системе отсчета, связанной с дорогой, скорость центра колеса O равна скорости автомобиля `$\vec{v}$`, а скорость нижней точки A равна нулю.

б) В системе отсчета, связанной с автомобилем (подвижная СО), автомобиль и его части, включая ось колеса O, неподвижны. Таким образом, скорость точки O равна нулю: `$v_O = 0$`. Колесо вращается вокруг неподвижной для этой СО оси O.
Скорость нижней точки A в этой системе отсчета является чисто вращательной. Она направлена в сторону, противоположную движению автомобиля (влево), и ее модуль равен `$v_{\text{вращ, A}} = \omega R$`. Из пункта (а) мы знаем, что `$v = \omega R$`, следовательно, модуль скорости точки A равен `$\text{v}$`.
Схематический рисунок:
- Колесо с центром в точке O. У точки O указано `$v_O = 0$`.
- В нижней части колеса отмечена точка A. Из нее исходит вектор скорости `$\vec{v}_A$`, направленный влево, с подписью `$\vec{v}`$.
Ответ: В системе отсчета, связанной с автомобилем, скорость оси O равна нулю, а скорость нижней точки A направлена в сторону, противоположную движению автомобиля, и ее модуль равен `$\text{v}$`.

в) Рассматриваем ту же систему отсчета, что и в пункте (б) – связанную с автомобилем. Верхняя точка колеса B также участвует только во вращательном движении вокруг неподвижной оси O.
Ее скорость направлена по касательной к окружности в сторону движения автомобиля (вправо). Модуль скорости также равен `$v_{\text{вращ, B}} = \omega R = v$`.
На рисунке из пункта (б) добавляется:
- В верхней части колеса отмечена точка B. Из нее исходит вектор скорости `$\vec{v}_B$`, направленный вправо, с подписью `$\vec{v}`$.
Ответ: В системе отсчета, связанной с автомобилем, скорость верхней точки B направлена в сторону движения автомобиля, и ее модуль равен `$\text{v}$`.

г) Снова вернемся в систему отсчета, связанную с дорогой (неподвижная СО). Скорости точек колеса находим по закону сложения скоростей: `$\vec{v}_{\text{отн. дороги}} = \vec{v}_{\text{поступ.}} + \vec{v}_{\text{вращ.}}$`, где `$\vec{v}_{\text{поступ.}} = \vec{v}$` для всех точек.
- Точка O (ось): Участвует только в поступательном движении. `$ \vec{v}_O = \vec{v} $`. Вектор направлен вправо.
- Точка A (нижняя): Скорость `$\vec{v}_A$` является векторной суммой `$\vec{v}$` (вправо) и `$\vec{v}_{\text{вращ, A}}$` (влево, модуль `$\text{v}$`). `$ \vec{v}_A = \vec{v} + (-\vec{v}) = 0 $`.
- Точка B (верхняя): Скорость `$\vec{v}_B$` является векторной суммой `$\vec{v}$` (вправо) и `$\vec{v}_{\text{вращ, B}}$` (вправо, модуль `$\text{v}$`). Так как векторы сонаправлены, их модули складываются: `$ v_B = v + v = 2v $`. Вектор скорости `$\vec{v}_B$` направлен вправо.
Схематический рисунок:
- Колесо на дороге.
- Из центра O вправо отходит вектор `$\vec{v}_O$` с подписью `$\vec{v}`$.
- У нижней точки A указано `$v_A = 0$`.
- Из верхней точки B вправо отходит вектор `$\vec{v}_B$` с подписью `$2\vec{v}$` (его длина вдвое больше, чем у вектора `$\vec{v}_O$`).
Ответ: В системе отсчета, связанной с дорогой, скорость оси O равна `$\text{v}$`, скорость нижней точки A равна 0, а скорость верхней точки B равна `$2v$`. Все ненулевые скорости направлены в сторону движения автомобиля.