Номер 5, страница 154, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 15. Реактивное движение. Освоение космоса - номер 5, страница 154.

Условие.

5. Две ракеты А и В с выключенными двигателями покоятся друг относительно друга в далёком космосе (рис. 15.6). В некоторый момент из сопла двигателя ракеты А одномоментно выбрасывается порция газа массой $m = 100$ кг со скоростью $v_r = 1$ км/с относительно ракеты А. Масса ракеты А до выбрасывания газа $M = 1$ т. Обозначьте $\text{V}$ модуль скорости ракеты А после выбрасывания порции газа, а $\text{v}$ — модуль скорости выброшенной порции газа относительно ракеты В.

Рис. 15.6

а) Выразите отношение $v/V$ через заданные величины. Найдите значение этого отношения.

б) Запишите соотношение для $v, V$ и $v_r$.

в) Выразите $\text{V}$ через заданные величины. Найдите значение $\text{V}$.

Решение 2.

Дано:

$m = 100$ кг
$v_r = 1$ км/с
$M = 1$ т

Перевод в систему СИ:
$v_r = 1 \cdot 1000 = 1000$ м/с
$M = 1 \cdot 1000 = 1000$ кг

Найти:

а) $v/V$ - ?
б) Соотношение для $v, V, v_r$ - ?
в) $\text{V}$ - ?

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из ракеты А и порции газа. Так как ракеты находятся в далёком космосе, внешними силами можно пренебречь. Следовательно, для данной замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса.

Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с ракетой B. До выброса газа ракета А покоилась в этой системе отсчета, поэтому начальный импульс системы «ракета А + газ» равен нулю:

$\vec{p}_{нач} = 0$

После выброса порции газа ракета А массой $(M - m)$ приобретает скорость $\vec{V}$, а порция газа массой $\text{m}$ приобретает скорость $\vec{v}$ (обе скорости относительно ракеты B). Конечный импульс системы равен:

$\vec{p}_{кон} = (M - m)\vec{V} + m\vec{v}$

Согласно закону сохранения импульса, $\vec{p}_{нач} = \vec{p}_{кон}$:

$0 = (M - m)\vec{V} + m\vec{v}$

Спроецируем это уравнение на ось, направленную вдоль скорости ракеты $\vec{V}$. Скорость газа $\vec{v}$ будет направлена в противоположную сторону. Тогда в проекциях на эту ось magnitudes $\text{V}$ и $\text{v}$ связаны соотношением:

$0 = (M - m)V - mv$

Отсюда получаем первое основное уравнение: $(M - m)V = mv$.

а) Выразите отношение v/V через заданные величины. Найдите значение этого отношения.

Из полученного по закону сохранения импульса соотношения $(M - m)V = mv$ выразим отношение $\frac{v}{V}$:

$\frac{v}{V} = \frac{M - m}{m} = \frac{M}{m} - 1$

Подставим числовые значения:

$\frac{v}{V} = \frac{1000 \text{ кг}}{100 \text{ кг}} - 1 = 10 - 1 = 9$

Ответ: $\frac{v}{V} = \frac{M-m}{m} = 9$.

б) Запишите соотношение для v, V и v_r.

Скорость газа относительно ракеты B ($\vec{v}$) связана со скоростью ракеты А относительно ракеты B ($\vec{V}$) и скоростью газа относительно ракеты А ($\vec{v}_r$) законом сложения скоростей:

$\vec{v} = \vec{V} + \vec{v}_r$

Поскольку газ выбрасывается в направлении, противоположном движению ракеты, векторы $\vec{V}$ и $\vec{v}_r$ направлены в противоположные стороны. Вектор $\vec{v}$ также направлен в сторону, противоположную $\vec{V}$. В проекции на ось, направленную по $\vec{V}$, получаем соотношение для модулей скоростей:

$-v = V - v_r$

Отсюда, $v = v_r - V$. Это и есть искомое соотношение.

Ответ: $v = v_r - V$ (или эквивалентное ему $v_r = v + V$).

в) Выразите V через заданные величины. Найдите значение V.

Для нахождения $\text{V}$ используем систему из двух уравнений, полученных ранее:

1) $(M - m)V = mv$

2) $v = v_r - V$

Подставим выражение для $\text{v}$ из второго уравнения в первое:

$(M - m)V = m(v_r - V)$

$MV - mV = mv_r - mV$

Сократив $-mV$ в обеих частях, получим:

$MV = mv_r$

Отсюда выражаем скорость ракеты $\text{V}$:

$V = \frac{mv_r}{M}$

Теперь вычислим её значение:

$V = \frac{100 \text{ кг} \cdot 1000 \text{ м/с}}{1000 \text{ кг}} = 100 \text{ м/с}$

Ответ: $V = \frac{mv_r}{M} = 100 \text{ м/с}$.