Номер 6, страница 155, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 15. Реактивное движение. Освоение космоса - номер 6, страница 155.

Условие.

6. Две ракеты $\text{A}$ и $\text{B}$ массой $M = 1$ т каждая (вместе с запасом топлива) покоятся относительно ракеты $\text{C}$ в далёком космосе. Из сопла двигателя ракеты $\text{A}$ выбрасываются поочерёдно две порции газа массой $m = 100$ кг каждая со скоростью $v_\text{г} = 1$ км/с относительно ракеты. А из сопла двигателя ракеты $\text{B}$ выбрасывается одна порция газа массой $2m$, тоже со скоростью $v_\text{г} = 1$ км/с относительно ракеты.

a) Запишите выражение для скорости ракеты $\text{A}$ относительно ракеты $\text{C}$ после выбрасывания первой порции газа. Найдите значение этой скорости.

б) Запишите выражение для скорости ракеты $\text{A}$ относительно ракеты $\text{C}$ после выбрасывания второй порции газа. Найдите значение этой скорости.

в) Запишите выражение для скорости ракеты $\text{B}$ относительно ракеты $\text{C}$ после выбрасывания порции газа. Найдите значение этой скорости.

г) Докажите, что скорость ракеты $\text{A}$ будет больше скорости ракеты $\text{B}$ при любых значениях $\text{M}$, $\text{m}$ и $v_\text{г}$.

Решение 2.

Дано:

Масса каждой ракеты (вместе с топливом): $M = 1$ т
Масса одной порции газа для ракеты А: $m = 100$ кг
Масса порции газа для ракеты B: $2m$
Скорость истечения газа относительно ракеты: $v_г = 1$ км/с

Перевод в СИ:

$M = 1000 \text{ кг}$
$m = 100 \text{ кг}$
$v_г = 1000 \text{ м/с}$

Найти:

а) Выражение для скорости $v_{A1}$ и её значение.
б) Выражение для скорости $v_{A2}$ и её значение.
в) Выражение для скорости $v_B$ и её значение.
г) Доказать, что $v_{A2} > v_B$ при любых $M, m, v_г$.

Решение:

Задача решается с помощью закона сохранения импульса. В качестве инерциальной системы отсчета выберем систему, связанную с ракетой C, относительно которой ракеты A и B изначально покоятся. Следовательно, начальный импульс каждой ракеты равен нулю. Направление движения ракеты после выброса газа примем за положительное.

а) Запишите выражение для скорости ракеты А относительно ракеты С после выбрасывания первой порции газа. Найдите значение этой скорости.

Рассмотрим замкнутую систему "ракета А - первая порция газа". Начальный импульс системы равен нулю. После выброса газа ракета массой $(M-m)$ приобретает скорость $v_{A1}$, а газ массой $\text{m}$ — скорость $v_{газ1}$ относительно ракеты С. Согласно закону сохранения импульса:

$0 = (M - m)v_{A1} + m v_{газ1}$

Скорость газа $v_{газ1}$ относительно ракеты С связана со скоростью ракеты $v_{A1}$ и скоростью истечения газа $v_г$ (относительно ракеты) соотношением: $v_{газ1} = v_{A1} - v_г$.

Подставим это выражение в закон сохранения импульса:

$0 = (M - m)v_{A1} + m(v_{A1} - v_г) = Mv_{A1} - mv_г$

Отсюда находим выражение для скорости ракеты А:

$v_{A1} = \frac{m v_г}{M}$

Подставим числовые значения:

$v_{A1} = \frac{100 \text{ кг} \cdot 1000 \text{ м/с}}{1000 \text{ кг}} = 100 \text{ м/с}$

Ответ: Выражение для скорости: $v_{A1} = \frac{m v_г}{M}$. Значение скорости: $100$ м/с.

б) Запишите выражение для скорости ракеты А относительно ракеты С после выбрасывания второй порции газа. Найдите значение этой скорости.

Теперь рассмотрим систему "ракета А (уже движущаяся) - вторая порция газа". До выброса второй порции газа система имела массу $(M-m)$ и двигалась со скоростью $v_{A1}$. Ее импульс был $P_{нач} = (M-m)v_{A1}$.

После выброса второй порции газа ракета имеет массу $(M-2m)$ и скорость $v_{A2}$, а вторая порция газа массой $\text{m}$ имеет скорость $v_{газ2} = v_{A2} - v_г$. По закону сохранения импульса:

$(M - m)v_{A1} = (M - 2m)v_{A2} + m v_{газ2}$

Подставляем $v_{газ2}$:

$(M - m)v_{A1} = (M - 2m)v_{A2} + m(v_{A2} - v_г) = (M-m)v_{A2} - mv_г$

Выразим $v_{A2}$:

$v_{A2} = v_{A1} + \frac{m v_г}{M-m}$

Подставив выражение для $v_{A1}$ из пункта а), получим конечное выражение для $v_{A2}$:

$v_{A2} = \frac{m v_г}{M} + \frac{m v_г}{M-m} = m v_г \left( \frac{1}{M} + \frac{1}{M-m} \right)$

Подставим числовые значения:

$v_{A2} = 100 \text{ м/с} + \frac{100 \text{ кг} \cdot 1000 \text{ м/с}}{1000 \text{ кг} - 100 \text{ кг}} = 100 + \frac{100000}{900} = 100 + \frac{1000}{9} \approx 211,1 \text{ м/с}$

Ответ: Выражение для скорости: $v_{A2} = \frac{m v_г}{M} + \frac{m v_г}{M-m}$. Значение скорости: $\approx 211,1$ м/с.

в) Запишите выражение для скорости ракеты В относительно ракеты С после выбрасывания порции газа. Найдите значение этой скорости.

Для ракеты В рассмотрим систему "ракета B - порция газа массой 2m". Начальный импульс равен нулю. После выброса газа ракета массой $(M-2m)$ приобретает скорость $v_B$, а газ массой $2m$ — скорость $v_{газB} = v_B - v_г$. По закону сохранения импульса:

$0 = (M - 2m)v_B + 2m \cdot v_{газB}$

Подставляем $v_{газB}$:

$0 = (M - 2m)v_B + 2m(v_B - v_г) = Mv_B - 2mv_г$

Отсюда находим выражение для скорости ракеты B:

$v_B = \frac{2m v_г}{M}$

Подставим числовые значения:

$v_B = \frac{2 \cdot 100 \text{ кг} \cdot 1000 \text{ м/с}}{1000 \text{ кг}} = 200 \text{ м/с}$

Ответ: Выражение для скорости: $v_B = \frac{2m v_г}{M}$. Значение скорости: $200$ м/с.

г) Докажите, что скорость ракеты А будет больше скорости ракеты В при любых значениях М, m и v_г.

Требуется доказать, что конечная скорость ракеты А ($v_{A2}$) больше скорости ракеты В ($v_B$). Сравним полученные выражения:

$v_{A2} = m v_г \left( \frac{1}{M} + \frac{1}{M-m} \right)$

$v_B = \frac{2m v_г}{M} = m v_г \left( \frac{2}{M} \right) = m v_г \left( \frac{1}{M} + \frac{1}{M} \right)$

Поскольку $m > 0$ и $v_г > 0$, сравнение скоростей сводится к сравнению выражений в скобках. Нужно доказать:

$\frac{1}{M} + \frac{1}{M-m} > \frac{1}{M} + \frac{1}{M}$

Вычитая из обеих частей $\frac{1}{M}$, получаем:

$\frac{1}{M-m} > \frac{1}{M}$

Из физического смысла задачи следует, что начальная масса ракеты $\text{M}$ больше массы одной порции топлива $\text{m}$, то есть $M > m > 0$. Отсюда следует, что $M-m$ — положительная величина, и $M > M-m$. Для положительных чисел, чем меньше знаменатель, тем больше значение дроби. Следовательно, неравенство верно, и скорость ракеты А всегда будет больше скорости ракеты В.

Ответ: Доказательство основано на сравнении выражений для скоростей, которое сводится к очевидному неравенству $\frac{1}{M-m} > \frac{1}{M}$, верному при $M>m>0$.