Номер 7, страница 155, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 15. Реактивное движение. Освоение космоса - номер 7, страница 155.

Условие.

7. Стартовавшая с поверхности Земли двухступенчатая ракета общей массой $M = 5$ т движется вертикально вверх. В момент, когда скорость ракеты $v_1 = 1$ км/с, от ракеты «отстреливается» вниз с некоторой скоростью относительно ракеты первая ступень массой $m = 2$ т, при этом скорость второй ступени ракеты возрастает до $v_2 = 1,5$ км/с.

а) Обозначьте $\vec{v}$ скорость первой ступени сразу после отделения. Запишите уравнение, выражающее закон сохранения импульса для первой и второй ступеней ракеты в проекциях на направленную вертикально вверх ось $\text{x}$ в системе отсчёта, связанной с Землёй.

б) Чему равна скорость первой ступени относительно Земли сразу после отделения и как она направлена?

в) Чему равна скорость первой ступени относительно ракеты сразу после отделения и как она направлена?

Решение 2.

Дано:

$M = 5$ т

$v_1 = 1$ км/с

$m = 2$ т

$v_2 = 1.5$ км/с

Перевод в систему СИ:

$M = 5 \times 10^3$ кг

$v_1 = 1 \times 10^3$ м/с

$m = 2 \times 10^3$ кг

$v_2 = 1.5 \times 10^3$ м/с

Найти:

а) Уравнение закона сохранения импульса.

б) Скорость первой ступени относительно Земли $\vec{u}$ и её направление.

в) Скорость первой ступени относительно ракеты $\vec{v}_{отн}$ и её направление.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из первой и второй ступеней ракеты, как замкнутую. Момент отделения ступени является внутренним процессом для этой системы, поэтому к ней применим закон сохранения импульса. Выберем инерциальную систему отсчёта, связанную с Землёй, и направим ось $\text{x}$ вертикально вверх, по направлению начального движения ракеты.

Импульс системы до отделения ступени в проекции на ось $\text{x}$ равен:

$p_{до} = M v_1$

После отделения первая ступень массой $\text{m}$ движется со скоростью $\vec{u}$ (проекция на ось $\text{x}$ — $u_x$), а вторая ступень массой $M_2 = M - m$ движется со скоростью $\vec{v}_2$ (проекция на ось $\text{x}$ — $v_2$, так как движение продолжается вверх).

Импульс системы после отделения ступени в проекции на ось $\text{x}$ равен:

$p_{после} = m u_x + (M-m)v_2$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{до} = p_{после}$.

а) Обозначим скорость первой ступени сразу после отделения $\vec{u}$. Уравнение, выражающее закон сохранения импульса для первой и второй ступеней ракеты в проекциях на направленную вертикально вверх ось $\text{x}$ в системе отсчёта, связанной с Землёй, имеет вид:

$Mv_1 = m u_x + (M-m)v_2$

Ответ: $Mv_1 = m u_x + (M-m)v_2$, где $u_x$ — проекция скорости первой ступени $\vec{u}$ на ось $\text{x}$.

б) Из уравнения, полученного в пункте а), выразим $u_x$ — проекцию скорости первой ступени на ось $\text{x}$ в системе отсчёта, связанной с Землёй:

$m u_x = Mv_1 - (M-m)v_2$

$u_x = \frac{Mv_1 - (M-m)v_2}{m}$

Подставим числовые значения (можно использовать тонны и км/с, так как единицы массы сократятся):

$u_x = \frac{5 \text{ т} \cdot 1 \text{ км/с} - (5 \text{ т} - 2 \text{ т}) \cdot 1.5 \text{ км/с}}{2 \text{ т}} = \frac{5 - 3 \cdot 1.5}{2} \text{ км/с} = \frac{5 - 4.5}{2} \text{ км/с} = \frac{0.5}{2} \text{ км/с} = 0.25 \text{ км/с}$

Так как проекция скорости $u_x$ положительна ($u_x > 0$), то вектор скорости $\vec{u}$ направлен в положительном направлении оси $\text{x}$, то есть вертикально вверх.

Ответ: Скорость первой ступени относительно Земли равна 0.25 км/с и направлена вертикально вверх.

в) Скорость первой ступени относительно ракеты (второй ступени) $\vec{v}_{отн}$ находится по классическому закону сложения скоростей: скорость тела в неподвижной системе отсчёта ($\vec{u}$) равна векторной сумме его скорости в подвижной системе отсчёта ($\vec{v}_{отн}$) и скорости самой подвижной системы отсчёта ($\vec{v}_2$).

$\vec{u} = \vec{v}_2 + \vec{v}_{отн}$

Отсюда, $\vec{v}_{отн} = \vec{u} - \vec{v}_2$.

В проекции на ось $\text{x}$:

$v_{отн, x} = u_x - v_2$

Подставим известные значения:

$v_{отн, x} = 0.25 \text{ км/с} - 1.5 \text{ км/с} = -1.25 \text{ км/с}$

Модуль относительной скорости равен $|v_{отн, x}| = 1.25$ км/с. Знак "минус" у проекции означает, что вектор относительной скорости $\vec{v}_{отн}$ направлен в сторону, противоположную положительному направлению оси $\text{x}$, то есть вертикально вниз.

Ответ: Скорость первой ступени относительно ракеты равна 1.25 км/с и направлена вертикально вниз.