Номер 4, страница 152, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 15. Реактивное движение. Освоение космоса - номер 4, страница 152.

Условие.

4. Из сопла двигателя ракеты, движущейся относительно Земли со скоростью $2 \text{ км/с}$, вылетает порция газа массой $100 \text{ кг}$. Скорость выброшенного газа относительно Земли равна $1 \text{ км/с}$ и направлена противоположно скорости ракеты. Масса ракеты до выброса газа равна $1 \text{ т}$. Направим ось x вдоль скорости ракеты.

а) Чему равна проекция импульса ракеты с газом (до его выброса) на ось x в системе отсчёта, связанной с Землёй?

б) Чему равна проекция импульса выброшенного газа на ту же ось в системе отсчёта, связанной с Землёй?

в) Чему равна проекция импульса ракеты после выброса газа на ту же ось в системе отсчёта, связанной с Землёй?

г) Чему равен модуль скорости ракеты после выброса газа в системе отсчёта, связанной с Землёй?

д) Чему равен модуль скорости выброшенной порции газа относительно ракеты?

Решение 2.

Дано:

$v_0 = 2$ км/с (скорость ракеты до выброса)
$m_г = 100$ кг (масса газа)
$v_г = 1$ км/с (скорость газа относительно Земли)
$M_0 = 1$ т (масса ракеты до выброса)

$v_0 = 2 \cdot 10^3 \text{ м/с}$
$m_г = 100 \text{ кг}$
$v_г = 1 \cdot 10^3 \text{ м/с}$
$M_0 = 1000 \text{ кг}$

Найти:

а) $p_{0x}$ - ?
б) $p_{гx}$ - ?
в) $p_{рx}$ - ?
г) $|v_р|$ - ?
д) $|v_{отн}|$ - ?

Решение:

а) Чему равна проекция импульса ракеты с газом (до его выброса) на ось x в системе отсчёта, связанной с Землёй?

Импульс системы до выброса газа равен произведению общей массы системы $M_0$ (ракета + газ) на её скорость $v_0$. Ось $\text{x}$ направлена вдоль скорости ракеты, поэтому проекция начальной скорости на ось $\text{x}$ равна её модулю: $v_{0x} = v_0$.

Проекция начального импульса системы на ось $\text{x}$ вычисляется по формуле: $p_{0x} = M_0 \cdot v_{0x}$.

Подставим числовые значения:

$p_{0x} = 1000 \text{ кг} \cdot 2000 \text{ м/с} = 2\;000\;000 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 2 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: Проекция импульса ракеты с газом до выброса равна $2 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

б) Чему равна проекция импульса выброшенного газа на ту же ось в системе отсчёта, связанной с Землёй?

Скорость выброшенного газа направлена противоположно скорости ракеты, а значит, и противоположно оси $\text{x}$. Поэтому проекция скорости газа на ось $\text{x}$ отрицательна: $v_{гx} = -v_г$.

Проекция импульса газа на ось $\text{x}$ вычисляется по формуле: $p_{гx} = m_г \cdot v_{гx}$.

Подставим числовые значения:

$p_{гx} = 100 \text{ кг} \cdot (-1000 \text{ м/с}) = -100\;000 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = -10^5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: Проекция импульса выброшенного газа равна $-10^5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

в) Чему равна проекция импульса ракеты после выброса газа на ту же ось в системе отсчёта, связанной с Землёй?

Систему "ракета-газ" можно считать замкнутой, поэтому применим закон сохранения импульса. Импульс системы до взаимодействия (выброса газа) равен сумме импульсов её частей после взаимодействия.

В проекции на ось $\text{x}$: $p_{0x} = p_{рx} + p_{гx}$, где $p_{рx}$ - искомая проекция импульса ракеты после выброса газа.

Выразим $p_{рx}$:

$p_{рx} = p_{0x} - p_{гx}$.

Подставим значения, найденные в пунктах а) и б):

$p_{рx} = 2 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot \text{м/с} - (-10^5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}) = 2 \cdot 10^6 + 0.1 \cdot 10^6 = 2.1 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: Проекция импульса ракеты после выброса газа равна $2.1 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

г) Чему равен модуль скорости ракеты после выброса газа в системе отсчёта, связанной с Землёй?

Масса ракеты после выброса газа уменьшилась и стала равной $M_р = M_0 - m_г$.

$M_р = 1000 \text{ кг} - 100 \text{ кг} = 900 \text{ кг}$.

Проекция импульса ракеты связана с её скоростью $v_{рx}$ соотношением $p_{рx} = M_р \cdot v_{рx}$. Отсюда найдем проекцию скорости:

$v_{рx} = \frac{p_{рx}}{M_р} = \frac{2.1 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{900 \text{ кг}} = \frac{2\;100\;000}{900} \text{ м/с} = \frac{21000}{9} \text{ м/с} = \frac{7000}{3} \text{ м/с}$.

Так как проекция скорости положительна, ракета продолжает движение в прежнем направлении. Модуль скорости $|v_р|$ равен значению проекции:

$|v_р| = \frac{7000}{3} \text{ м/с} \approx 2333.3 \text{ м/с}$.

Ответ: Модуль скорости ракеты после выброса газа равен $\frac{7000}{3}$ м/с (приблизительно $2333.3$ м/с).

д) Чему равен модуль скорости выброшенной порции газа относительно ракеты?

Относительная скорость $v_{отн}$ находится по закону сложения скоростей. Скорость газа относительно Земли ($\vec{v}_г$) равна векторной сумме скорости ракеты относительно Земли ($\vec{v}_р$) и скорости газа относительно ракеты ($\vec{v}_{отн}$): $\vec{v}_г = \vec{v}_р + \vec{v}_{отн}$.

Отсюда $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_г - \vec{v}_р$. В проекциях на ось $\text{x}$:

$v_{отн, x} = v_{гx} - v_{рx}$.

Подставим известные проекции скоростей газа и ракеты:

$v_{отн, x} = -1000 \text{ м/с} - \frac{7000}{3} \text{ м/с} = -\frac{3000}{3} \text{ м/с} - \frac{7000}{3} \text{ м/с} = -\frac{10000}{3} \text{ м/с}$.

Модуль относительной скорости равен модулю её проекции:

$|v_{отн}| = |-\frac{10000}{3}| = \frac{10000}{3} \text{ м/с} \approx 3333.3 \text{ м/с}$.

Ответ: Модуль скорости выброшенной порции газа относительно ракеты равен $\frac{10000}{3}$ м/с (приблизительно $3333.3$ м/с).