Номер 27, страница 150, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 27, страница 150.

Условие.

27. На поверхности озера покоится лодка. Друзья, сидящие на корме и на носу на расстоянии 5 м друг от друга, меняются местами. На какое расстояние переместится лодка, если её масса равна 150 кг, а массы друзей 90 кг и 60 кг? Примите, что друзья двигались по лодке с постоянными скоростями.

Решение 2.

Дано:

$l = 5$ м (расстояние между друзьями)

$M = 150$ кг (масса лодки)

$m_1 = 90$ кг (масса первого друга)

$m_2 = 60$ кг (масса второго друга)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{S}$ - расстояние, на которое переместится лодка.

Решение:

Рассмотрим систему тел, состоящую из лодки и двух друзей. Поскольку лодка первоначально покоится на поверхности озера, начальный импульс системы равен нулю. Силы, заставляющие друзей и лодку двигаться (силы трения между ногами друзей и лодкой), являются внутренними для этой системы. Внешними силами в горизонтальном направлении (сопротивлением воды и воздуха) можно пренебречь. В таком случае, для замкнутой системы справедлив закон сохранения импульса. Так как начальный импульс равен нулю, он и останется нулевым в процессе движения. Это означает, что положение центра масс системы не изменится.

Введем одномерную систему координат, направив ось $Ox$ от кормы к носу лодки. Пусть более тяжелый друг ($m_1$) находится на корме, а более легкий ($m_2$) — на носу. Выберем начало отсчета в точке, где изначально находился центр масс лодки. Тогда начальные координаты друзей относительно воды: $x_{1i} = -l/2$ и $x_{2i} = l/2$. Начальная координата центра масс лодки $x_{лi} = 0$.

Условие сохранения положения центра масс системы означает, что его смещение равно нулю: $\Delta x_{цм} = 0$.

Смещение центра масс можно рассчитать по формуле:

$\Delta x_{цм} = \frac{M \cdot \Delta x_л + m_1 \cdot \Delta x_1 + m_2 \cdot \Delta x_2}{M + m_1 + m_2} = 0$

где $\Delta x_л$ — перемещение лодки, а $\Delta x_1$ и $\Delta x_2$ — перемещения друзей относительно воды.

Перемещения друзей относительно воды складываются из их перемещения относительно лодки и перемещения самой лодки. Первый друг (массой $m_1$) перемещается от кормы к носу, то есть его перемещение относительно лодки равно $\text{l}$. Второй друг (массой $m_2$) перемещается от носа к корме, его перемещение относительно лодки равно $-l$.

Тогда их перемещения относительно воды равны:

$\Delta x_1 = l + \Delta x_л$

$\Delta x_2 = -l + \Delta x_л$

Подставим эти выражения в уравнение для смещения центра масс (достаточно приравнять к нулю числитель дроби):

$M \cdot \Delta x_л + m_1 \cdot (l + \Delta x_л) + m_2 \cdot (-l + \Delta x_л) = 0$

Раскроем скобки:

$M \Delta x_л + m_1 l + m_1 \Delta x_л - m_2 l + m_2 \Delta x_л = 0$

Сгруппируем слагаемые с $\Delta x_л$:

$\Delta x_л (M + m_1 + m_2) + l(m_1 - m_2) = 0$

Выразим перемещение лодки $\Delta x_л$:

$\Delta x_л (M + m_1 + m_2) = -l(m_1 - m_2)$

$\Delta x_л = \frac{-l(m_1 - m_2)}{M + m_1 + m_2} = \frac{l(m_2 - m_1)}{M + m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения:

$\Delta x_л = \frac{5 \cdot (60 - 90)}{150 + 90 + 60} = \frac{5 \cdot (-30)}{300} = \frac{-150}{300} = -0.5$ м.

Знак «минус» указывает, что лодка сдвинулась в направлении, противоположном движению более тяжелого друга. Расстояние, на которое переместилась лодка, — это модуль её перемещения:

$S = |\Delta x_л| = |-0.5 \text{ м}| = 0.5$ м.

Ответ: лодка переместится на расстояние 0.5 м.