Номер 24, страница 150, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 24, страница 150.

Условие.

24. Два пластилиновых шарика массами $m_1 = 50$ г и $m_2 = 100$ г движутся по взаимно перпендикулярным направлениям со скоростями $v_1 = 2$ м/с и $v_2 = 3$ м/с. С какой по модулю скоростью будут двигаться шарики после абсолютно неупругого столкновения?

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 50$ г

$m_2 = 100$ г

$v_1 = 2$ м/с

$v_2 = 3$ м/с

Направления движения шариков взаимно перпендикулярны ($\vec{v}_1 \perp \vec{v}_2$).

Столкновение абсолютно неупругое.

$m_1 = 50 \text{ г} = 0.05 \text{ кг}$

$m_2 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

$\text{v}$ — модуль скорости шариков после столкновения.

Решение:

При абсолютно неупругом столкновении тела слипаются и продолжают движение как единое целое. Для замкнутой системы, состоящей из двух шариков, выполняется закон сохранения импульса.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$

где $\vec{p}_{до}$ — суммарный импульс системы до столкновения, а $\vec{p}_{после}$ — суммарный импульс системы после столкновения.

Суммарный импульс до столкновения равен векторной сумме импульсов каждого шарика:

$\vec{p}_{до} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$

После столкновения шарики движутся вместе с общей скоростью $\vec{v}$. Их суммарная масса равна $m_1 + m_2$. Импульс системы после столкновения:

$\vec{p}_{после} = (m_1 + m_2)\vec{v}$

Приравнивая выражения для импульсов до и после столкновения, получаем:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v}$

Поскольку векторы начальных скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ (а значит и импульсов $m_1\vec{v}_1$ и $m_2\vec{v}_2$) взаимно перпендикулярны, модуль суммарного импульса до столкновения можно найти по теореме Пифагора:

$p_{до} = |\vec{p}_{до}| = \sqrt{(m_1v_1)^2 + (m_2v_2)^2}$

Модуль импульса системы после столкновения равен:

$p_{после} = |\vec{p}_{после}| = (m_1 + m_2)v$

Из закона сохранения импульса следует равенство модулей: $p_{до} = p_{после}$.

$\sqrt{(m_1v_1)^2 + (m_2v_2)^2} = (m_1 + m_2)v$

Выразим искомую скорость $\text{v}$:

$v = \frac{\sqrt{(m_1v_1)^2 + (m_2v_2)^2}}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$p_1 = m_1v_1 = 0.05 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} = 0.1 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

$p_2 = m_2v_2 = 0.1 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с} = 0.3 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

$v = \frac{\sqrt{(0.1)^2 + (0.3)^2}}{0.05 + 0.1} = \frac{\sqrt{0.01 + 0.09}}{0.15} = \frac{\sqrt{0.1}}{0.15}$

$v \approx \frac{0.3162}{0.15} \approx 2.108 \text{ м/с}$

Округлив результат до двух значащих цифр, получаем:

$v \approx 2.1 \text{ м/с}$

Ответ: $2.1$ м/с.