Номер 28, страница 150, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 28, страница 150.

Условие.

28. С берега на плывущий по реке плот массой 100 кг бросают груз массой 60 кг со скоростью 1 м/с, направленной горизонтально перпендикулярно течению реки. С какой по модулю скоростью и под каким углом к скорости течения реки будет плыть плот сразу после попадания на него груза? Скорость течения реки 1 м/с.

Решение 2.

Дано:

$m_п = 100 \text{ кг}$ - масса плота

$m_г = 60 \text{ кг}$ - масса груза

$v_г = 1 \text{ м/с}$ - скорость груза, направленная перпендикулярно течению

$v_т = 1 \text{ м/с}$ - скорость течения реки (начальная скорость плота)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{u}$ - модуль скорости плота с грузом

$\alpha$ - угол между вектором скорости плота с грузом и направлением течения

Решение:

Рассмотрим систему тел «плот + груз». Поскольку взаимодействие (падение груза на плот) происходит за очень короткое время, можно применить закон сохранения импульса. Взаимодействие является неупругим, так как после падения груз и плот движутся как единое целое.

Введем двумерную систему координат. Направим ось $Ox$ по направлению течения реки, а ось $Oy$ — перпендикулярно течению, в сторону, куда был брошен груз.

Запишем импульсы тел до взаимодействия в проекциях на оси координат:

Плот движется со скоростью течения, поэтому его начальная скорость $\vec{v}_п = \vec{v}_т$.

Проекции начального импульса плота:

$p_{пx} = m_п \cdot v_т = 100 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с} = 100 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

$p_{пy} = 0$

Груз бросают перпендикулярно течению.

Проекции начального импульса груза:

$p_{гx} = 0$

$p_{гy} = m_г \cdot v_г = 60 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с} = 60 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Суммарный импульс системы до взаимодействия:

$P_x = p_{пx} + p_{гx} = 100 + 0 = 100 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

$P_y = p_{пy} + p_{гy} = 0 + 60 = 60 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

После того как груз упал на плот, они движутся вместе с общей скоростью $\vec{u}$. Обозначим ее проекции как $u_x$ и $u_y$. Общая масса системы $M = m_п + m_г = 100 + 60 = 160 \text{ кг}$.

Импульс системы после взаимодействия:

$P'_x = M \cdot u_x = 160 \cdot u_x$

$P'_y = M \cdot u_y = 160 \cdot u_y$

По закону сохранения импульса, суммарный импульс системы до взаимодействия равен суммарному импульсу после взаимодействия ($P_x = P'_x$ и $P_y = P'_y$):

$100 = 160 \cdot u_x \implies u_x = \frac{100}{160} = \frac{5}{8} = 0.625 \text{ м/с}$

$60 = 160 \cdot u_y \implies u_y = \frac{60}{160} = \frac{3}{8} = 0.375 \text{ м/с}$

Теперь можем найти модуль конечной скорости $\text{u}$ по теореме Пифагора:

$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2} = \sqrt{(0.625)^2 + (0.375)^2} = \sqrt{0.390625 + 0.140625} = \sqrt{0.53125} \approx 0.73 \text{ м/с}$

Угол $\alpha$ к направлению течения (оси $Ox$) найдем через тангенс угла наклона вектора скорости:

$\tan(\alpha) = \frac{u_y}{u_x} = \frac{0.375}{0.625} = \frac{3/8}{5/8} = \frac{3}{5} = 0.6$

$\alpha = \arctan(0.6) \approx 31^{\circ}$

Ответ:

Плот с грузом будет плыть со скоростью по модулю $u \approx 0.73 \text{ м/с}$ под углом $\alpha \approx 31^{\circ}$ к скорости течения реки.