Номер 29, страница 151, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 29, страница 151.

Условие.

29. В момент, когда пластилиновый шар, брошенный вертикально вверх со скоростью 20 м/с, находился в полёте 3 с, в него попал такой же пластилиновый шар, летящий горизонтально со скоростью 10 м/с. На каком расстоянии от места бросания первого шара упали шары после их абсолютно неупругого удара? Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость первого шара: $v_{01} = 20 \text{ м/с}$

Время полета первого шара до столкновения: $t_1 = 3 \text{ с}$

Скорость второго шара: $v_2 = 10 \text{ м/с}$ (направлена горизонтально)

Массы шаров одинаковы: $m_1 = m_2 = m$

Удар абсолютно неупругий.

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Расстояние от места бросания до места падения: $L - ?$

Решение:

Решение задачи можно разделить на три этапа: движение первого шара до столкновения, абсолютно неупругое столкновение шаров и движение слипшихся шаров после столкновения.

1. Движение первого шара до столкновения.

Выберем систему координат: начало в точке бросания первого шара, ось OY направлена вертикально вверх, ось OX – горизонтально.Найдем скорость и высоту первого шара в момент времени $t_1 = 3 \text{ с}$.

Вертикальная составляющая скорости первого шара в момент столкновения:

$v_{1y} = v_{01} - gt_1 = 20 - 10 \cdot 3 = 20 - 30 = -10 \text{ м/с}$

Знак «минус» означает, что в момент столкновения первый шар уже двигался вниз, пройдя точку максимального подъема.

Горизонтальная составляющая скорости первого шара равна нулю, так как он был брошен вертикально:

$v_{1x} = 0$

Высота, на которой произошло столкновение:

$h = v_{01}t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = 20 \cdot 3 - \frac{10 \cdot 3^2}{2} = 60 - \frac{90}{2} = 60 - 45 = 15 \text{ м}$

2. Абсолютно неупругое столкновение.

Второй шар летел горизонтально, поэтому его составляющие скорости перед ударом: $v_{2x} = 10 \text{ м/с}$ и $v_{2y} = 0$.При абсолютно неупругом ударе шары слипаются и продолжают движение как единое целое. Масса нового тела $M = m_1 + m_2 = 2m$. Для нахождения скорости $\text{V}$ слипшихся шаров сразу после удара применим закон сохранения импульса в проекциях на оси OX и OY.

Проекция на ось OX:

$m v_{1x} + m v_{2x} = (2m)V_x$

$m \cdot 0 + m \cdot 10 = 2m V_x$

$10m = 2m V_x \implies V_x = 5 \text{ м/с}$

Проекция на ось OY:

$m v_{1y} + m v_{2y} = (2m)V_y$

$m \cdot (-10) + m \cdot 0 = 2m V_y$

$-10m = 2m V_y \implies V_y = -5 \text{ м/с}$

Итак, сразу после столкновения слипшиеся шары имеют скорость с компонентами $V_x = 5 \text{ м/с}$ и $V_y = -5 \text{ м/с}$.

3. Движение слипшихся шаров после столкновения.

Слипшиеся шары начинают движение с высоты $h = 15 \text{ м}$ с начальной скоростью $(V_x, V_y)$. Найдем время их падения $t_2$. Движение по вертикали описывается уравнением:

$y(t) = h + V_y t - \frac{gt^2}{2}$

В момент падения на землю $y(t_2) = 0$:

$0 = 15 + (-5)t_2 - \frac{10t_2^2}{2}$

$5t_2^2 + 5t_2 - 15 = 0$

Разделим уравнение на 5:

$t_2^2 + t_2 - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$.

$t_2 = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Так как время не может быть отрицательным, выбираем корень со знаком «плюс»:

$t_2 = \frac{\sqrt{13} - 1}{2} \text{ с}$

За это время шары по горизонтали пролетят расстояние $\text{L}$. Движение по горизонтали равномерное со скоростью $V_x$.

$L = V_x \cdot t_2 = 5 \cdot \frac{\sqrt{13} - 1}{2} = 2.5(\sqrt{13} - 1) \text{ м}$

Вычислим приближенное значение, зная, что $\sqrt{13} \approx 3.606$:

$L \approx 2.5 \cdot (3.606 - 1) = 2.5 \cdot 2.606 \approx 6.515 \text{ м}$

Ответ: шары упали на расстоянии $L = 2.5(\sqrt{13} - 1) \text{ м} \approx 6.52 \text{ м}$ от места бросания первого шара.