Номер 22, страница 150, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 22, страница 150.

Условие.

22. На какое расстояние сместится первоначально покоившаяся тележка массой 100 кг и длиной 3 м, когда человек массой 50 кг перейдёт с одного её края на другой? Примите, что человек идёт по тележке с постоянной скоростью. Трением между тележкой и рельсами можно пренебречь.

Решение 2.

Дано

Масса тележки $M = 100 \text{ кг}$

Длина тележки $L = 3 \text{ м}$

Масса человека $m = 50 \text{ кг}$

Начальная скорость системы равна нулю.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти

Расстояние $\text{S}$, на которое сместится тележка.

Решение

Рассмотрим систему, состоящую из человека и тележки. Так как по условию трением между тележкой и рельсами можно пренебречь, то в горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы. Это означает, что система является замкнутой в горизонтальном направлении. В замкнутой системе, которая первоначально покоилась, положение центра масс не изменяется.

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось $OX$ вдоль рельсов. В начальный момент времени пусть левый край тележки находится в начале координат ($x=0$). Тогда человек находится в точке $x_ч = 0$, а центр масс тележки (считая ее однородной) находится в точке $x_т = L/2$.

Начальная координата центра масс системы $x_{цм.нач}$ равна:

$x_{цм.нач} = \frac{m \cdot x_ч + M \cdot x_т}{m + M} = \frac{m \cdot 0 + M \cdot \frac{L}{2}}{m + M} = \frac{ML}{2(m + M)}$

Когда человек переходит на правый край тележки, он совершает перемещение относительно тележки на расстояние $\text{L}$. При этом тележка смещается на некоторое расстояние $\text{S}$ в противоположную сторону (влево). Новая координата левого края тележки станет равна $-S$, а правого — $L-S$. Центр масс тележки сместится в точку $x'_т = \frac{L}{2} - S$. Человек в конечный момент времени окажется на правом краю тележки, то есть в точке с координатой $x'_ч = L - S$.

Конечная координата центра масс системы $x_{цм.кон}$ равна:

$x_{цм.кон} = \frac{m \cdot x'_ч + M \cdot x'_т}{m + M} = \frac{m(L - S) + M(\frac{L}{2} - S)}{m + M}$

Так как положение центра масс не меняется, приравниваем начальную и конечную координаты:

$x_{цм.нач} = x_{цм.кон}$

$\frac{ML}{2(m + M)} = \frac{m(L - S) + M(\frac{L}{2} - S)}{m + M}$

Умножим обе части на $(m + M)$:

$\frac{ML}{2} = m(L - S) + M(\frac{L}{2} - S)$

Раскроем скобки:

$\frac{ML}{2} = mL - mS + \frac{ML}{2} - MS$

Сократим $\frac{ML}{2}$ в обеих частях уравнения:

$0 = mL - mS - MS$

Перенесем члены с $\text{S}$ в левую часть:

$mS + MS = mL$

$S(m + M) = mL$

Отсюда выражаем искомое расстояние $\text{S}$:

$S = \frac{mL}{m + M}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$S = \frac{50 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м}}{50 \text{ кг} + 100 \text{ кг}} = \frac{150 \text{ кг} \cdot \text{м}}{150 \text{ кг}} = 1 \text{ м}$

Ответ: 1 м.