Номер 15, страница 148, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 15, страница 148.

Условие.

15. В деревянный брусок массой $M = 1 \text{ кг}$, лежащий на длинном столе, попадает пуля массой $m = 10 \text{ г}$ и застревает в бруске. Скорость пули $v_\text{п} = 500 \text{ м/с}$, причём она направлена вдоль стола. Коэффициент трения между бруском и столом $\mu = 0,5$.

а) Запишите уравнение, выражающее сохранение суммарного импульса бруска и пули при их взаимодействии. Модуль скорости бруска с пулей сразу после попадания пули в брусок обозначьте $\text{v}$.

б) Выразите модуль ускорения бруска $\text{a}$ при его движении по столу через заданные в описании условия величины.

в) Выразите путь $\text{l}$, пройденный бруском до остановки, через заданные в описании условия величины, и найдите его численное значение.

Решение 2.

Дано:

$M = 1$ кг

$m = 10$ г

$v_п = 500$ м/с

$μ = 0,5$

Перевод в систему СИ:

$m = 10 \cdot 10^{-3}$ кг $= 0,01$ кг

Найти:

а) Уравнение сохранения импульса

б) $\text{a}$ - модуль ускорения бруска

в) $\text{l}$ - путь, пройденный бруском

Решение:

а) Запишите уравнение, выражающее сохранение суммарного импульса бруска и пули при их взаимодействии. Модуль скорости бруска с пулей сразу после попадания пули в брусок обозначьте v.

Рассмотрим систему "пуля + брусок". Во время удара (неупругого столкновения) внешними силами (сила тяжести, сила трения) можно пренебречь, так как время взаимодействия очень мало. Следовательно, для системы выполняется закон сохранения импульса.
Импульс системы до взаимодействия равен импульсу пули, так как брусок покоился:
$p_{до} = m \cdot v_п$
Импульс системы после взаимодействия равен импульсу бруска с застрявшей в нем пулей, движущихся вместе со скоростью $\text{v}$:
$p_{после} = (M + m) \cdot v$
Согласно закону сохранения импульса, $p_{до} = p_{после}$.

Ответ: $m \cdot v_п = (M + m) \cdot v$

б) Выразите модуль ускорения бруска a при его движении по столу через заданные в описании условия величины.

После попадания пули брусок вместе с пулей движется по столу. На него действуют следующие силы: сила тяжести $(M+m)g$, направленная вниз; сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная вверх; и сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная против движения.
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси.
Ось OY (вертикальная): $N - (M+m)g = 0$, откуда $N = (M+m)g$.
Ось OX (горизонтальная, по направлению движения): $-F_{тр} = (M+m)a$.
Сила трения скольжения определяется как $F_{тр} = μN$. Подставим выражение для $\text{N}$:
$F_{тр} = μ(M+m)g$
Подставим силу трения в уравнение для оси OX:
$-μ(M+m)g = (M+m)a$
Сократив на $(M+m)$, получим выражение для ускорения: $a = -μg$.
Модуль ускорения $\text{a}$ будет равен $μg$.

Ответ: $a = μg$

в) Выразите путь l, пройденный бруском до остановки, через заданные в описании условия величины, и найдите его численное значение.

Брусок с пулей движется равнозамедленно с начальной скоростью $\text{v}$ и ускорением $a = -μg$ до полной остановки (конечная скорость равна 0). Воспользуемся формулой для пути при равноускоренном движении, не содержащей времени:
$l = \frac{v_{кон}^2 - v_{нач}^2}{2a}$
В нашем случае $v_{нач} = v$, $v_{кон} = 0$, $a = -μg$.
$l = \frac{0^2 - v^2}{2(-μg)} = \frac{v^2}{2μg}$
Теперь выразим начальную скорость $\text{v}$ из уравнения сохранения импульса (пункт а):
$v = \frac{m \cdot v_п}{M + m}$
Подставим это выражение в формулу для пути $\text{l}$:
$l = \frac{\left(\frac{m \cdot v_п}{M + m}\right)^2}{2μg} = \frac{m^2 v_п^2}{2μg(M + m)^2}$
Найдем численное значение. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с².
Сначала найдем скорость $\text{v}$ после столкновения:
$v = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot 500 \text{ м/с}}{1 \text{ кг} + 0,01 \text{ кг}} = \frac{5 \text{ м/с}}{1,01} \approx 4,95$ м/с
Теперь найдем путь $\text{l}$:
$l = \frac{v^2}{2μg} = \frac{(4,95 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 0,5 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{24,5025 \text{ м}^2/\text{с}^2}{10 \text{ м/с}^2} \approx 2,45$ м

Ответ: $l = \frac{m^2 v_п^2}{2μg(M + m)^2}$; $l \approx 2,45$ м