Номер 8, страница 145, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 8, страница 145.

Условие.

°8. Пластилиновые шары массами $m_1$ и $m_2$ движутся вдоль одной прямой со скоростями $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$. В результате столкновения шары слипаются и движутся как одно тело. Обозначим $\vec{v}$ скорость этого тела.

a) Направьте ось $\text{x}$ вдоль скорости любого из шаров и запишите уравнение, выражающее закон сохранения импульса, в векторной форме и в проекциях на ось $\text{x}$.

б) Выразите проекцию скорости образовавшегося тела $v_x$ через проекции скоростей шаров и массы шаров.

Решение 2.

Дано:

Масса первого пластилинового шара: $m_1$

Масса второго пластилинового шара: $m_2$

Скорость первого шара до столкновения: $\vec{v}_1$

Скорость второго шара до столкновения: $\vec{v}_2$

Скорость шаров после столкновения (как одного тела): $\vec{v}$

Найти:

а) Уравнение, выражающее закон сохранения импульса, в векторной форме и в проекциях на ось $\text{x}$.

б) Проекцию скорости образовавшегося тела $v_x$.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух пластилиновых шаров. Столкновение является абсолютно неупругим, так как шары слипаются. Для замкнутой системы тел, какой можно считать систему из двух шаров в момент столкновения, выполняется закон сохранения импульса. Этот закон гласит, что полный импульс системы до взаимодействия равен полному импульсу системы после взаимодействия.

Суммарный импульс системы до столкновения равен векторной сумме импульсов каждого шара:

$\vec{p}_{до} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$

После столкновения шары движутся как единое целое с общей массой $M = m_1 + m_2$ и скоростью $\vec{v}$. Суммарный импульс системы после столкновения равен:

$\vec{p}_{после} = (m_1 + m_2)\vec{v}$

а) Направьте ось x вдоль скорости любого из шаров и запишите уравнение, выражающее закон сохранения импульса, в векторной форме и в проекциях на ось x.

Приравнивая импульс системы до и после столкновения ($\vec{p}_{до} = \vec{p}_{после}$), получаем закон сохранения импульса в векторной форме:

$m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v}$

Теперь направим координатную ось $\text{x}$ вдоль прямой, по которой движутся шары. Например, пусть ось $\text{x}$ сонаправлена с вектором скорости первого шара $\vec{v}_1$. Тогда проекции векторов на эту ось будут скалярными величинами $v_{1x}$, $v_{2x}$ и $v_x$. Спроецировав векторное уравнение на ось $\text{x}$, получим уравнение в проекциях:

$m_1v_{1x} + m_2v_{2x} = (m_1 + m_2)v_x$

Ответ:

Уравнение закона сохранения импульса в векторной форме: $m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v}$.

Уравнение закона сохранения импульса в проекциях на ось $\text{x}$: $m_1v_{1x} + m_2v_{2x} = (m_1 + m_2)v_x$.

б) Выразите проекцию скорости образовавшегося тела $v_x$ через проекции скоростей шаров и массы шаров.

Для нахождения проекции скорости образовавшегося тела $v_x$ воспользуемся уравнением, полученным в пункте а) в проекциях на ось $\text{x}$:

$m_1v_{1x} + m_2v_{2x} = (m_1 + m_2)v_x$

Чтобы выразить $v_x$, разделим обе части уравнения на суммарную массу $(m_1 + m_2)$:

$v_x = \frac{m_1v_{1x} + m_2v_{2x}}{m_1 + m_2}$

Эта формула определяет проекцию скорости слипшихся шаров после абсолютно неупругого столкновения.

Ответ:

$v_x = \frac{m_1v_{1x} + m_2v_{2x}}{m_1 + m_2}$