Номер 6, страница 144, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 6, страница 144.

Условие.

6. В движущуюся по рельсам тележку с песком падает груз, как показано на рисунке 14.2, а. Обозначим $m_г$ и $m_т$ массы груза и тележки, $\vec{v}_н$ — начальную скорость тележки, а $\vec{v}_к$ — конечную скорость тележки с грузом (рис. 14.2, б). Трением между колёсами тележки и рельсами можно пренебречь.

Рис. 14.2

а) Какие внешние силы действуют на систему тел «тележка + груз»?

б) Как направлены внешние силы, действующие на систему тел «тележка + груз»?

в) Могут ли внешние силы изменить проекции импульсов тележки и груза на горизонтально направленную ось x?

И так, при взаимодействии груза с тележкой проекция их суммарного импульса на горизонтально направленную ось x остаётся неизменной.

г) Запишите выражение для проекции суммарного начального импульса груза и тележки на ось x.

д) Запишите выражение для проекции суммарного конечного импульса груза и тележки на ось x.

е) Выразите $v_к$ через $v_н$, $m_г$ и $m_т$.

ж) Сохраняется ли в данном случае суммарный импульс груза и тележки?

Решение 2.

Дано:

$m_г$ - масса груза
$m_т$ - масса тележки
$\vec{v}_н$ - начальная скорость тележки
$\vec{v}_к$ - конечная скорость тележки с грузом
В начальный момент времени груз падает вертикально, т.е. его горизонтальная составляющая скорости равна нулю.
Трение между колёсами тележки и рельсами можно пренебречь.

Все величины представлены в общем виде, будем считать, что они выражены в системе СИ.

Найти:

а) Внешние силы, действующие на систему «тележка + груз».
б) Направление внешних сил.
в) Могут ли внешние силы изменить проекцию импульса на ось x.
г) Выражение для проекции начального суммарного импульса на ось x.
д) Выражение для проекции конечного суммарного импульса на ось x.
е) Выразить $v_к$ через $v_н$, $m_г$ и $m_т$.
ж) Сохраняется ли суммарный импульс системы.

Решение:

а) Внешними силами для системы, состоящей из тележки и груза, являются силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему. Это сила тяжести, действующая на тележку ($m_т \vec{g}$), сила тяжести, действующая на груз ($m_г \vec{g}$), и сила нормальной реакции опоры ($\vec{N}$), действующая на тележку со стороны рельсов.
Ответ: Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры.

б) Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз. Сила нормальной реакции опоры перпендикулярна поверхности, то есть в данном случае направлена вертикально вверх. Таким образом, все внешние силы направлены по вертикали (вдоль оси y).
Ответ: Все внешние силы направлены вертикально.

в) Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса системы тел равно импульсу равнодействующей внешних сил: $\Delta \vec{P} = \vec{F}_{внешн} \Delta t$. В проекции на горизонтальную ось x это уравнение имеет вид: $\Delta P_x = F_{внешн, x} \Delta t$. Поскольку все внешние силы направлены вертикально, их проекция на горизонтальную ось x равна нулю ($F_{внешн, x} = 0$). Следовательно, $\Delta P_x = 0$, то есть проекция суммарного импульса системы на ось x не изменяется.
Ответ: Нет, не могут, так как проекция равнодействующей внешних сил на горизонтальную ось x равна нулю.

г) Проекция суммарного начального импульса на ось x равна сумме проекций импульсов тележки и груза до их взаимодействия: $P_{н,x} = p_{т,н,x} + p_{г,н,x}$. Начальная скорость тележки $\vec{v}_н$ направлена вдоль оси x, поэтому $p_{т,н,x} = m_т v_н$. Груз падает вертикально, его начальная горизонтальная скорость равна нулю, поэтому $p_{г,н,x} = m_г \cdot 0 = 0$. Таким образом, $P_{н,x} = m_т v_н + 0 = m_т v_н$.
Ответ: $P_{н,x} = m_т v_н$.

д) В конечном состоянии груз находится на тележке, и они движутся вместе как единое целое со скоростью $\vec{v}_к$, направленной вдоль оси x. Общая масса системы стала $m_т + m_г$. Проекция суммарного конечного импульса на ось x равна $P_{к,x} = (m_т + m_г) v_к$.
Ответ: $P_{к,x} = (m_т + m_г) v_к$.

е) Так как проекция импульса системы на ось x сохраняется (что было обосновано в пункте в), мы можем приравнять выражения для начального и конечного импульсов: $P_{н,x} = P_{к,x}$. Подставив выражения из пунктов г) и д), получим: $m_т v_н = (m_т + m_г) v_к$. Из этого уравнения выразим конечную скорость $v_к$: $v_к = \frac{m_т v_н}{m_т + m_г}$.
Ответ: $v_к = \frac{m_т v_н}{m_т + m_г}$.

ж) Суммарный импульс системы как векторная величина сохраняется только в том случае, если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю. В данном случае сумма внешних сил (силы тяжести и силы реакции опоры) не равна нулю в процессе взаимодействия (удара), так как они вызывают изменение вертикальной составляющей импульса системы. До падения груз имел вертикальную скорость (и импульс), а после падения вертикальная скорость системы стала равна нулю. Поскольку вертикальная проекция импульса не сохранилась, то и полный вектор суммарного импульса не сохраняется.
Ответ: Нет, суммарный импульс груза и тележки не сохраняется, так как на систему действуют внешние вертикальные силы, сумма которых не равна нулю в момент взаимодействия.