Номер 11, страница 146, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 11, страница 146.

Условие.

11. У левого края покоящейся тележки длиной 12 м и массой $m_т = 120$ кг стоит человек массой $m_ч = 60$ кг (рис. 14.4, а). В некоторый момент человек начинает идти по тележке вправо со скоростью $v_{чз} = 0,8$ м/с относительно земли (рис. 14.4, б). Трением между колёсами тележки и рельсами можно пренебречь.

Рис. 14.4

а) Обозначьте $v_{тз}$ модуль скорости тележки относительно земли во время движения человека по тележке. Запишите уравнение, выражающее закон сохранения импульса в проекциях на ось х.

б) Чему равен модуль скорости тележки относительно земли во время движения человека по тележке?

в) Чему равна скорость человека относительно тележки?

г) За какой промежуток времени человек пройдёт вдоль всей тележки?

д) Чему будут равны скорости человека и тележки относительно земли, когда человек остановится относительно тележки у правого её края (рис. 14.4, в)?

е) Насколько сдвинется тележка относительно земли по сравнению с её начальным положением за время движения человека по тележке?

ж) Насколько переместится человек относительно земли по сравнению с его начальным положением за то же время?

Решение 2.

Дано

$l = 12$ м

$m_т = 120$ кг

$m_ч = 60$ кг

$v_{чз} = 0,8$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) Уравнение закона сохранения импульса

б) $v_{тз}$ - скорость тележки относительно земли

в) $v_{чт}$ - скорость человека относительно тележки

г) $\text{t}$ - время движения человека

д) $v'_{чз}$, $v'_{тз}$ - конечные скорости человека и тележки

е) $\Delta x_т$ - перемещение тележки

ж) $\Delta x_ч$ - перемещение человека

Решение

Рассмотрим систему "человек + тележка" как замкнутую, так как по условию трением можно пренебречь. Внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы в вертикальном направлении, а в горизонтальном направлении внешние силы отсутствуют. Следовательно, для этой системы выполняется закон сохранения импульса.

а) Обозначьте $v_{тз}$ модуль скорости тележки относительно земли во время движения человека по тележке. Запишите уравнение, выражающее закон сохранения импульса в проекциях на ось х.

В начальный момент времени и человек, и тележка покоятся, поэтому суммарный импульс системы равен нулю. $p_{начальный} = (m_т + m_ч) \cdot 0 = 0$. Когда человек начинает двигаться со скоростью $v_{чз}$ относительно земли, тележка приходит в движение со скоростью $v_{тз}$ относительно земли. Ось $\text{x}$ направлена вправо, по направлению движения человека. Импульс системы в проекции на ось $\text{x}$ после начала движения: $p_{конечный} = m_ч v_{чз} + m_т v_{тз}$. Согласно закону сохранения импульса, $p_{начальный} = p_{конечный}$. Уравнение закона сохранения импульса в проекциях на ось $\text{x}$ имеет вид: $m_ч v_{чз} + m_т v_{тз} = 0$.

Ответ: $m_ч v_{чз} + m_т v_{тз} = 0$.

б) Чему равен модуль скорости тележки относительно земли во время движения человека по тележке?

Из уравнения, полученного в пункте а), выразим скорость тележки $v_{тз}$: $m_т v_{тз} = -m_ч v_{чз}$ $v_{тз} = - \frac{m_ч}{m_т} v_{чз}$ Подставим числовые значения: $v_{тз} = - \frac{60 \text{ кг}}{120 \text{ кг}} \cdot 0,8 \text{ м/с} = -0,5 \cdot 0,8 \text{ м/с} = -0,4 \text{ м/с}$. Знак "минус" показывает, что тележка движется в направлении, противоположном оси $\text{x}$ (влево). Модуль скорости тележки равен $|v_{тз}| = 0,4$ м/с.

Ответ: $0,4$ м/с.

в) Чему равна скорость человека относительно тележки?

Скорость человека относительно земли ($v_{чз}$) связана со скоростью человека относительно тележки ($v_{чт}$) и скоростью тележки относительно земли ($v_{тз}$) по закону сложения скоростей: $\vec{v}_{чз} = \vec{v}_{чт} + \vec{v}_{тз}$. В проекции на ось $\text{x}$: $v_{чз} = v_{чт} + v_{тз}$. Отсюда выразим скорость человека относительно тележки: $v_{чт} = v_{чз} - v_{тз} = 0,8 \text{ м/с} - (-0,4 \text{ м/с}) = 0,8 \text{ м/с} + 0,4 \text{ м/с} = 1,2 \text{ м/с}$.

Ответ: $1,2$ м/с.

г) За какой промежуток времени человек пройдёт вдоль всей тележки?

Чтобы пройти всю тележку, человек должен преодолеть расстояние, равное её длине $\text{l}$, со скоростью относительно тележки $v_{чт}$. Время движения $\text{t}$ можно найти по формуле: $t = \frac{l}{v_{чт}}$. $t = \frac{12 \text{ м}}{1,2 \text{ м/с}} = 10 \text{ с}$.

Ответ: $10$ с.

д) Чему будут равны скорости человека и тележки относительно земли, когда человек остановится относительно тележки у правого её края (рис. 14.4, в)?

Так как система "человек + тележка" замкнута, её суммарный импульс должен оставаться равным нулю на протяжении всего времени. Когда человек останавливается относительно тележки, они начинают двигаться как единое целое. Пусть их общая скорость относительно земли будет $v'_{конечная}$. Суммарный импульс системы в этот момент равен $p'_{конечный} = (m_ч + m_т) v'_{конечная}$. По закону сохранения импульса: $p_{начальный} = p'_{конечный}$ $0 = (m_ч + m_т) v'_{конечная}$. Поскольку масса системы $(m_ч + m_т)$ не равна нулю, то $v'_{конечная} = 0$. Это означает, что и человек, и тележка остановятся относительно земли.

Ответ: Скорости человека и тележки относительно земли будут равны 0.

е) Насколько сдвинется тележка относительно земли по сравнению с её начальным положением за время движения человека по тележке?

Тележка движется равномерно со скоростью $v_{тз} = -0,4$ м/с в течение времени $t = 10$ с. Её перемещение $\Delta x_т$ равно: $\Delta x_т = v_{тз} \cdot t = -0,4 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = -4 \text{ м}$. Тележка сдвинется на 4 м влево (в направлении, противоположном движению человека).

Ответ: Тележка сдвинется на $\text{4}$ м.

ж) Насколько переместится человек относительно земли по сравнению с его начальным положением за то же время?

Человек движется равномерно со скоростью $v_{чз} = 0,8$ м/с в течение времени $t = 10$ с. Его перемещение $\Delta x_ч$ относительно земли равно: $\Delta x_ч = v_{чз} \cdot t = 0,8 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 8 \text{ м}$. Человек переместится на 8 м вправо.

Ответ: Человек переместится на $\text{8}$ м.