Номер 16, страница 148, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 16, страница 148.

Условие.

16. Шар массой 190 г бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Через 2 с после броска в шар попала пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 600 м/с, и застряла в шаре. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

а) Чему равна скорость шара с пулей сразу после попадания пули в шар?

б) Сколько времени будет находиться в полёте шар с пулей до падения на землю?

в) На каком расстоянии от точки бросания упадёт шар с пулей?

г) Чему равна скорость шара с пулей непосредственно перед падением?

Решение 2.

Дано:

$m_ш = 190 \text{ г} = 0.19 \text{ кг}$

$v_{0ш} = 20 \text{ м/с}$

$t_1 = 2 \text{ с}$

$m_п = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

$v_{0п} = 600 \text{ м/с}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

а) $\text{V}$ - скорость шара с пулей сразу после попадания?

б) $t_2$ - время полета шара с пулей до падения?

в) $\text{L}$ - расстояние от точки бросания до точки падения?

г) $V_f$ - скорость шара с пулей перед падением?

Решение:

1. Сначала определим параметры движения шара в момент $t_1 = 2 \text{ с}$, непосредственно перед попаданием пули.

Высота, на которую поднимется шар:

$h_1 = v_{0ш}t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = 20 \cdot 2 - \frac{10 \cdot 2^2}{2} = 40 - 20 = 20 \text{ м}$

Вертикальная скорость шара в этот момент:

$v_{yш} = v_{0ш} - gt_1 = 20 - 10 \cdot 2 = 0 \text{ м/с}$

Это означает, что пуля попадает в шар в верхней точке его траектории, где его вертикальная скорость равна нулю.

2. Теперь рассмотрим абсолютно неупругое столкновение пули и шара. Так как столкновение происходит очень быстро, можно применить закон сохранения импульса для системы "шар+пуля".

Общая масса системы после столкновения: $M = m_ш + m_п = 0.19 \text{ кг} + 0.01 \text{ кг} = 0.2 \text{ кг}$.

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальную (X) и вертикальную (Y) оси. Пусть $V_x$ и $V_y$ — компоненты скорости системы сразу после столкновения.

Проекция на ось X:

$m_ш \cdot 0 + m_п v_{0п} = (m_ш + m_п)V_x \implies V_x = \frac{m_п v_{0п}}{M}$

$V_x = \frac{0.01 \cdot 600}{0.2} = \frac{6}{0.2} = 30 \text{ м/с}$

Проекция на ось Y:

$m_ш v_{yш} + m_п \cdot 0 = (m_ш + m_п)V_y \implies V_y = \frac{m_ш v_{yш}}{M}$

$V_y = \frac{0.19 \cdot 0}{0.2} = 0 \text{ м/с}$

а) Чему равна скорость шара с пулей сразу после попадания пули в шар?

Скорость системы "шар+пуля" сразу после столкновения имеет только горизонтальную составляющую. Модуль этой скорости равен:

$V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} = \sqrt{30^2 + 0^2} = 30 \text{ м/с}$

Ответ: 30 м/с.

б) Сколько времени будет находиться в полёте шар с пулей до падения на землю?

После столкновения шар с пулей начинает движение с высоты $h_1 = 20 \text{ м}$ с начальной скоростью $V=30 \text{ м/с}$, направленной горизонтально. Начальная вертикальная скорость $V_y = 0$. Движение представляет собой свободное падение с этой высоты. Время падения $t_2$ найдем из формулы:

$h_1 = V_y t_2 + \frac{gt_2^2}{2} \implies h_1 = \frac{gt_2^2}{2}$

$t_2 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{10}} = \sqrt{4} = 2 \text{ с}$

Ответ: 2 с.

в) На каком расстоянии от точки бросания упадёт шар с пулей?

По горизонтали шар с пулей движется равномерно со скоростью $V_x = 30 \text{ м/с}$. Расстояние $\text{L}$, которое он пролетит за время падения $t_2$, равно:

$L = V_x \cdot t_2 = 30 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с} = 60 \text{ м}$

Ответ: 60 м.

г) Чему равна скорость шара с пулей непосредственно перед падением?

Найдем компоненты вектора скорости $V_f$ в момент падения на землю. Горизонтальная компонента скорости остается неизменной:

$V_{fx} = V_x = 30 \text{ м/с}$

Вертикальная компонента скорости к моменту падения будет равна:

$V_{fy} = V_y - gt_2 = 0 - 10 \cdot 2 = -20 \text{ м/с}$

Модуль конечной скорости найдем по теореме Пифагора:

$V_f = \sqrt{V_{fx}^2 + V_{fy}^2} = \sqrt{30^2 + (-20)^2} = \sqrt{900 + 400} = \sqrt{1300} = 10\sqrt{13} \text{ м/с}$

Приблизительное значение: $V_f \approx 36.1 \text{ м/с}$.

Ответ: $10\sqrt{13}$ м/с (приблизительно 36.1 м/с).