Номер 10, страница 145, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 10, страница 145.

Условие.

10. Первая тележка массой $50 \text{ кг}$ едет по рельсам со скоростью $2 \text{ м/с}$. Навстречу ей едет вторая тележка. При столкновении тележки сцепляются. Подберите массу и скорость второй тележки так, чтобы в результате столкновения сцепленные тележки:

а) остановились;

б) двигались в ту же сторону, что и первая тележка до столкновения;

в) двигались в ту же сторону, что и вторая тележка до столкновения.

Решение 2.

Дано:

Масса первой тележки $m_1 = 50$ кг

Скорость первой тележки $v_1 = 2$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Подобрать массу $m_2$ и скорость $v_2$ второй тележки для трех случаев: а), б), в).

Решение:

Эта задача решается с помощью закона сохранения импульса. Так как тележки движутся навстречу друг другу, а после столкновения сцепляются, такое столкновение является абсолютно неупругим. Суммарный импульс системы, состоящей из двух тележек, до столкновения равен импульсу сцепленных тележек после столкновения.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

$m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} = (m_1 + m_2) \vec{v_{общ}}$

Выберем координатную ось $OX$, направленную в сторону движения первой тележки. Тогда проекция скорости первой тележки на эту ось будет положительной ($v_{1x} = v_1 = 2$ м/с), а проекция скорости второй тележки, которая движется навстречу, будет отрицательной ($v_{2x} = -v_2$, где $v_2$ — это модуль скорости второй тележки).

Закон сохранения импульса в проекции на ось $OX$ примет вид:

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_{x}$

где $v_{x}$ — это проекция скорости сцепленных тележек после столкновения на ось $OX$. Знак $v_{x}$ будет определять направление движения тележек после столкновения.

Найдем модуль импульса первой тележки до столкновения:

$p_1 = m_1 v_1 = 50 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с} = 100 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

а) остановились;

Если после столкновения сцепленные тележки остановились, их конечная скорость равна нулю, то есть $v_{x} = 0$.

Подставим это значение в уравнение закона сохранения импульса:

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) \cdot 0$

$m_1 v_1 - m_2 v_2 = 0 \Rightarrow m_1 v_1 = m_2 v_2$

Это означает, что модули импульсов тележек до столкновения должны быть равны. Модуль импульса второй тележки $p_2 = m_2 v_2$ должен быть равен $100 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Нужно подобрать такие значения $m_2$ и $v_2$, произведение которых равно 100. Например, выберем массу второй тележки $m_2 = 50$ кг. Тогда ее скорость должна быть:

$v_2 = \frac{100 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{50 \text{ кг}} = 2 \text{ м/с}$

Ответ: например, масса второй тележки $m_2 = 50$ кг, скорость $v_2 = 2$ м/с.

б) двигались в ту же сторону, что и первая тележка до столкновения;

Если сцепленные тележки движутся в ту же сторону, что и первая тележка до столкновения, значит, их конечная скорость направлена вдоль оси $OX$, то есть $v_{x} > 0$.

Для того чтобы $v_{x}$ было положительным, правая часть уравнения $m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_{x}$ должна быть положительной, а значит и левая часть должна быть положительной:

$m_1 v_1 - m_2 v_2 > 0 \Rightarrow m_1 v_1 > m_2 v_2$

Это означает, что модуль импульса первой тележки $p_1$ должен быть больше модуля импульса второй тележки $p_2$.

Нам нужно подобрать $m_2$ и $v_2$ так, чтобы их произведение было меньше 100. Например, выберем массу второй тележки $m_2 = 40$ кг. Тогда для ее скорости должно выполняться условие:

$40 \text{ кг} \cdot v_2 < 100 \text{ кг} \cdot \text{м/с} \Rightarrow v_2 < \frac{100}{40} \text{ м/с} \Rightarrow v_2 < 2.5 \text{ м/с}$

Выберем, например, $v_2 = 2$ м/с.

Ответ: например, масса второй тележки $m_2 = 40$ кг, скорость $v_2 = 2$ м/с.

в) двигались в ту же сторону, что и вторая тележка до столкновения.

Если сцепленные тележки движутся в ту же сторону, что и вторая тележка до столкновения, значит, их конечная скорость направлена против оси $OX$, то есть $v_{x} < 0$.

Для того чтобы $v_{x}$ было отрицательным, левая часть уравнения $m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_{x}$ должна быть отрицательной:

$m_1 v_1 - m_2 v_2 < 0 \Rightarrow m_1 v_1 < m_2 v_2$

Это означает, что модуль импульса первой тележки $p_1$ должен быть меньше модуля импульса второй тележки $p_2$.

Нам нужно подобрать $m_2$ и $v_2$ так, чтобы их произведение было больше 100. Например, выберем массу второй тележки $m_2 = 60$ кг. Тогда для ее скорости должно выполняться условие:

$60 \text{ кг} \cdot v_2 > 100 \text{ кг} \cdot \text{м/с} \Rightarrow v_2 > \frac{100}{60} \text{ м/с} \Rightarrow v_2 > \approx 1.67 \text{ м/с}$

Выберем, например, $v_2 = 3$ м/с.

Ответ: например, масса второй тележки $m_2 = 60$ кг, скорость $v_2 = 3$ м/с.