Номер 12, страница 147, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 12, страница 147.

Условие.

12. В озере на надувных кругах, соединённых лёгкой верёвкой, плавают девочка Аня и её старшая сестра Маша. В начальный момент круги с девочками покоятся и находятся на расстоянии 20 м друг от друга. Маша потянула с помощью верёвки круг с Аней, после чего круги с девочками стали двигаться с постоянными скоростями навстречу друг другу, причём расстояние между кругами уменьшалось на 0,5 м за секунду. Массы девочек равны 20 кг и 30 кг. Примите, что сопротивлением воды можно пренебречь.

а) Зависят ли скорости кругов от того, какая из девочек потянула за верёвку?

б) Круг с какой девочкой движется быстрее? Во сколько раз?

в) С какими скоростями движутся круги с девочками?

г) Какой путь пройдёт круг с каждой девочкой до встречи?

Решение 2.

Дано:

Масса Ани, $m_А = 20 \text{ кг}$

Масса Маши, $m_М = 30 \text{ кг}$

Начальное расстояние, $S_0 = 20 \text{ м}$

Скорость уменьшения расстояния (скорость сближения), $v_{сбл} = 0,5 \text{ м/с}$

Начальные скорости девочек $v_{0А} = v_{0М} = 0 \text{ м/с}$

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

а) Зависят ли скорости кругов от того, какая из девочек потянула за верёвку?

б) Круг с какой девочкой движется быстрее? Во сколько раз?

в) Скорости кругов с девочками $v_А$ и $v_М$.

г) Путь, который пройдёт круг с каждой девочкой до встречи, $S_А$ и $S_М$.

Решение:

Рассмотрим систему "Аня на круге – Маша на круге". Силы натяжения верёвки, действующие на девочек, являются внутренними для этой системы. Так как сопротивлением воды можно пренебречь, внешние горизонтальные силы на систему не действуют. Поскольку в начальный момент времени система покоилась, её суммарный импульс был равен нулю. По закону сохранения импульса, суммарный импульс системы останется равным нулю и в процессе движения.

а) Зависят ли скорости кругов от того, какая из девочек потянула за верёвку?

Согласно третьему закону Ньютона, силы взаимодействия между телами равны по модулю и противоположны по направлению. Сила, с которой Маша действует на Аню через верёвку, равна по модулю силе, с которой Аня действует на Машу. Эти силы являются внутренними для системы. Поэтому результат взаимодействия (возникшие скорости) не зависит от того, кто из девочек был инициатором — потянула ли Маша за свой конец верёвки или Аня за свой.
Ответ: Нет, скорости кругов не зависят от того, какая из девочек потянула за верёвку.

б) Круг с какой девочкой движется быстрее? Во сколько раз?

Начальный импульс системы равен нулю. По закону сохранения импульса, суммарный импульс системы в любой момент времени также равен нулю. Пусть $v_А$ — скорость круга с Аней, а $v_М$ — скорость круга с Машей. Направим ось координат, например, в сторону движения Ани. Тогда её скорость будет положительной, а скорость Маши — отрицательной. Закон сохранения импульса в проекции на эту ось запишется так:

$0 = m_А v_А - m_М v_М$

Отсюда следует, что модули импульсов девочек равны:

$m_А v_А = m_М v_М$

Из этого соотношения найдём отношение скоростей:

$\frac{v_А}{v_М} = \frac{m_М}{m_А}$

Подставим значения масс:

$\frac{v_А}{v_М} = \frac{30 \text{ кг}}{20 \text{ кг}} = 1,5$

Скорость круга с Аней в 1,5 раза больше скорости круга с Машей, так как масса Ани меньше.
Ответ: Круг с Аней движется быстрее в 1,5 раза.

в) С какими скоростями движутся круги с девочками?

Скорость сближения — это сумма скоростей девочек, так как они движутся навстречу друг другу:

$v_{сбл} = v_А + v_М = 0,5 \text{ м/с}$

Мы получили систему из двух уравнений:

$v_А = 1,5 v_М$

$v_А + v_М = 0,5$

Подставим первое уравнение во второе:

$1,5 v_М + v_М = 0,5$

$2,5 v_М = 0,5$

$v_М = \frac{0,5}{2,5} = 0,2 \text{ м/с}$

Теперь найдём скорость Ани:

$v_А = 1,5 \cdot v_М = 1,5 \cdot 0,2 = 0,3 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость круга с Аней — 0,3 м/с, скорость круга с Машей — 0,2 м/с.

г) Какой путь пройдёт круг с каждой девочкой до встречи?

Для нахождения пути, пройденного каждой девочкой, сначала найдём общее время движения до встречи $\text{t}$.

$t = \frac{S_0}{v_{сбл}} = \frac{20 \text{ м}}{0,5 \text{ м/с}} = 40 \text{ с}$

Теперь можно рассчитать путь для каждой девочки, так как они движутся с постоянными скоростями:

Путь, пройденный Аней: $S_А = v_А \cdot t = 0,3 \text{ м/с} \cdot 40 \text{ с} = 12 \text{ м}$

Путь, пройденный Машей: $S_М = v_М \cdot t = 0,2 \text{ м/с} \cdot 40 \text{ с} = 8 \text{ м}$

Проверка: $S_А + S_М = 12 \text{ м} + 8 \text{ м} = 20 \text{ м}$, что соответствует начальному расстоянию.
Ответ: Круг с Аней пройдёт 12 м, а круг с Машей — 8 м.