Номер 35, страница 142, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 13. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 35, страница 142.

Условие.

35. Чему равен модуль изменения импульса мяча массой 0,5 кг, брошенного под углом 30° к горизонту с начальной скоростью 12 м/с:

а) за время движения до момента, когда модуль импульса мяча принял минимальное значение;

б) за время всего полёта?

Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение 2.

Дано:

Масса мяча: $m = 0,5 \text{ кг}$

Начальная скорость: $v_0 = 12 \text{ м/с}$

Угол броска к горизонту: $\alpha = 30^\circ$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) $|\Delta \vec{p}_a|$ - модуль изменения импульса за время движения до момента, когда модуль импульса мяча принял минимальное значение.

б) $|\Delta \vec{p}_b|$ - модуль изменения импульса за время всего полёта.

Решение:

Изменение импульса тела $\Delta \vec{p}$ определяется как векторная разность его конечного ($\vec{p}_k$) и начального ($\vec{p}_0$) импульсов: $\Delta \vec{p} = \vec{p}_k - \vec{p}_0$. Импульс, в свою очередь, является произведением массы тела на его скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$.

При движении тела под углом к горизонту его движение можно разложить на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Начальная скорость раскладывается на компоненты:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, на мяч действует только сила тяжести, направленная вертикально вниз. Это значит, что горизонтальная составляющая скорости (и импульса) остаётся постоянной в течение всего полёта, а изменяется только вертикальная.

Таким образом, изменение импульса будет происходить только по вертикальной оси Y. Изменение импульса по горизонтальной оси X равно нулю: $\Delta p_x = 0$.

а) за время движения до момента, когда модуль импульса мяча принял минимальное значение;

Модуль импульса $p = mv = m\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ минимален, когда минимален модуль скорости $\text{v}$. Так как $v_x$ постоянна, скорость будет минимальной, когда вертикальная составляющая скорости $v_y$ обратится в ноль. Это происходит в наивысшей точке траектории.

Начальный импульс по вертикали: $p_{0y} = m v_{0y} = m v_0 \sin\alpha$.

Конечный импульс по вертикали (в наивысшей точке): $p_{ky} = m \cdot 0 = 0$.

Изменение импульса за это время равно изменению его вертикальной составляющей:

$\Delta p_a = p_{ky} - p_{0y} = 0 - m v_0 \sin\alpha = -m v_0 \sin\alpha$.

Модуль изменения импульса:

$|\Delta \vec{p}_a| = | \Delta p_a | = m v_0 \sin\alpha$.

Подставим числовые значения:

$|\Delta \vec{p}_a| = 0,5 \text{ кг} \cdot 12 \text{ м/с} \cdot \sin(30^\circ) = 0,5 \cdot 12 \cdot 0,5 = 3 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: $3 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

б) за время всего полёта?

В конце полёта мяч возвращается на ту же высоту, с которой был брошен. Из-за симметрии траектории (при отсутствии сопротивления воздуха) конечная вертикальная скорость будет равна по модулю начальной, но направлена в противоположную сторону: $v_{ky} = -v_{0y} = -v_0 \sin\alpha$.

Начальный импульс по вертикали: $p_{0y} = m v_0 \sin\alpha$.

Конечный импульс по вертикали (в момент падения): $p_{ky} = m v_{ky} = -m v_0 \sin\alpha$.

Изменение импульса за всё время полёта:

$\Delta p_b = p_{ky} - p_{0y} = -m v_0 \sin\alpha - m v_0 \sin\alpha = -2m v_0 \sin\alpha$.

Модуль изменения импульса:

$|\Delta \vec{p}_b| = | \Delta p_b | = 2m v_0 \sin\alpha$.

Подставим числовые значения:

$|\Delta \vec{p}_b| = 2 \cdot 0,5 \text{ кг} \cdot 12 \text{ м/с} \cdot \sin(30^\circ) = 2 \cdot 0,5 \cdot 12 \cdot 0,5 = 6 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: $6 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$