Номер 31, страница 142, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 13. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 31, страница 142.

Условие.

31. Бильярдный шар массой $300 \text{ г}$ движется со скоростью $1 \text{ м/с}$ и сталкивается с бортиком (рис. 13.6). Продолжительность удара $20 \text{ мс}$, угол $\alpha = 60^\circ$, $v_1 = v_2$. Поставьте по этой ситуации четыре вопроса и найдите ответы на них.

Рис. 13.6

Решение 2.

Дано:

$m = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$
$v_1 = 1 \text{ м/с}$
$v_2 = v_1 = 1 \text{ м/с}$
$\Delta t = 20 \text{ мс} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ с} = 0.02 \text{ с}$
$\alpha = 60^{\circ}$

Найти:

1. Изменение импульса шара в результате удара ($|\Delta\vec{p}|$).
2. Среднюю силу, действующую на шар со стороны бортика во время удара ($F_{ср}$).
3. Изменение кинетической энергии шара ($\Delta E_k$).
4. Работу, совершенную силой упругости бортика над шаром ($\text{A}$).

Решение:

Вопрос 1: Каково изменение импульса шара в результате удара?

Изменение импульса – это векторная величина, равная разности конечного и начального импульсов: $\Delta\vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1$. Для нахождения этой разности введем систему координат. Направим ось OY перпендикулярно бортику (вдоль нормали), а ось OX – параллельно бортику.

Проекции начальной скорости на оси:
$v_{1x} = v_1 \sin\alpha$
$v_{1y} = -v_1 \cos\alpha$ (знак "минус", так как вектор направлен против оси OY).

Проекции конечной скорости на оси:
$v_{2x} = v_2 \sin\alpha = v_1 \sin\alpha$
$v_{2y} = v_2 \cos\alpha = v_1 \cos\alpha$.

Найдем проекции изменения импульса:
$\Delta p_x = m(v_{2x} - v_{1x}) = m(v_1 \sin\alpha - v_1 \sin\alpha) = 0$.
$\Delta p_y = m(v_{2y} - v_{1y}) = m(v_1 \cos\alpha - (-v_1 \cos\alpha)) = 2mv_1 \cos\alpha$.

Модуль вектора изменения импульса равен:
$|\Delta\vec{p}| = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2} = \sqrt{0^2 + (2mv_1 \cos\alpha)^2} = 2mv_1 \cos\alpha$.

Подставим числовые значения:
$|\Delta\vec{p}| = 2 \cdot 0.3 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с} \cdot \cos(60^{\circ}) = 0.6 \cdot 0.5 = 0.3 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: $0.3 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Вопрос 2: Какова средняя сила, действующая на шар со стороны бортика во время удара?

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на него: $\Delta\vec{p} = \vec{F}_{ср} \Delta t$. Отсюда модуль средней силы равен:

$F_{ср} = \frac{|\Delta\vec{p}|}{\Delta t}$.

Используем значение изменения импульса, найденное в предыдущем пункте:

$F_{ср} = \frac{0.3 \text{ кг}\cdot\text{м/с}}{0.02 \text{ с}} = 15 \text{ Н}$.

Ответ: $15 \text{ Н}$.

Вопрос 3: Как изменилась кинетическая энергия шара?

Изменение кинетической энергии равно разности конечной и начальной кинетических энергий:

$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}$.

По условию задачи, модули скоростей до и после удара равны: $v_1 = v_2$. Следовательно:

$\Delta E_k = \frac{m v_1^2}{2} - \frac{m v_1^2}{2} = 0$.

Такой удар, при котором кинетическая энергия системы сохраняется, называется абсолютно упругим.

Ответ: $0 \text{ Дж}$ (кинетическая энергия не изменилась).

Вопрос 4: Какую работу совершила сила упругости бортика над шаром?

Согласно теореме о кинетической энергии, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии: $A = \Delta E_k$.

В предыдущем вопросе мы установили, что изменение кинетической энергии шара равно нулю. Сила тяжести и сила реакции опоры стола (если он горизонтальный) перпендикулярны перемещению и работы не совершают. Единственная сила, совершающая работу во время удара, это сила упругости бортика.

Следовательно, работа силы упругости бортика равна:

$A = \Delta E_k = 0 \text{ Дж}$.

Ответ: $0 \text{ Дж}$.