Номер 32, страница 142, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 13. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 32, страница 142.

Условие.

32. Шар массой 250 г движется равномерно по окружности радиусом 25 см и совершает один полный оборот за 2,4 с. Чему равен модуль изменения импульса шара за 0,4 с?

Решение 2.

Дано:

$m = 250 \text{ г} = 0.25 \text{ кг}$
$R = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$
$T = 2.4 \text{ с}$
$\Delta t = 0.4 \text{ с}$

Найти:

$|\Delta\vec{p}|$

Решение:

Импульс шара — это векторная величина, определяемая как произведение массы на скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$. Изменение импульса $\Delta\vec{p}$ за промежуток времени $\Delta t$ равно векторной разности конечного и начального импульсов: $\Delta\vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1$.

При равномерном движении по окружности модуль скорости $\text{v}$ остается постоянным, а направление вектора скорости изменяется. Модуль скорости можно найти, разделив длину окружности на период обращения: $v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi \cdot 0.25 \text{ м}}{2.4 \text{ с}} = \frac{0.5\pi}{2.4} \text{ м/с} = \frac{5\pi}{24} \text{ м/с}$.

Модуль импульса шара постоянен и равен: $p = |\vec{p}_1| = |\vec{p}_2| = mv = 0.25 \text{ кг} \cdot \frac{5\pi}{24} \text{ м/с} = \frac{5\pi}{96} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

За время $\Delta t$ шар повернется на угол $\Delta\varphi$. Угловая скорость движения $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Угол поворота равен: $\Delta\varphi = \omega \Delta t = \frac{2\pi}{T} \Delta t = \frac{2\pi}{2.4 \text{ с}} \cdot 0.4 \text{ с} = \frac{0.8\pi}{2.4} = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$ (что соответствует $60^\circ$).

Вектор скорости, а следовательно и вектор импульса, также повернется на угол $\Delta\varphi = \pi/3$. Модуль изменения импульса $|\Delta\vec{p}|$ найдем как модуль разности двух векторов $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ с одинаковыми модулями $\text{p}$ и углом $\Delta\varphi$ между ними. Геометрически векторы $\vec{p}_1$, $-\vec{p}_2$ и $\Delta\vec{p}$ образуют равнобедренный треугольник. Модуль изменения импульса можно найти по формуле: $|\Delta\vec{p}| = 2p\sin(\frac{\Delta\varphi}{2})$.

Подставим численные значения: $\frac{\Delta\varphi}{2} = \frac{\pi/3}{2} = \frac{\pi}{6}$. $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0.5$.

$|\Delta\vec{p}| = 2 \cdot p \cdot \sin(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{5\pi}{96} \cdot 0.5 = \frac{5\pi}{96} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3.14$: $|\Delta\vec{p}| \approx \frac{5 \cdot 3.14}{96} = \frac{15.7}{96} \approx 0.1635 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$. Округляя до двух значащих цифр, получаем $\approx 0.16 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: $|\Delta\vec{p}| = \frac{5\pi}{96} \text{ кг}\cdot\text{м/с} \approx 0.16 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.