Номер 27, страница 141, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 13. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 27, страница 141.

Условие.

27. Тележка массой 3 кг движется вдоль оси $\text{x}$. На рисунке 13.5 изображён график зависимости от времени проекции скорости тележки на ось $\text{x}$.

а) Найдите проекцию импульса тележки и модуль её импульса в моменты времени 20 с и 100 с.

б) Найдите модуль изменения проекции импульса тележки за промежуток времени от 20 с до 100 с.

Рис. 13.5

Решение 2.

Дано:

Масса тележки, $m = 3$ кг.

График зависимости проекции скорости от времени, $v_x(t)$.

Первый момент времени, $t_1 = 20$ с.

Второй момент времени, $t_2 = 100$ с.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) Проекцию импульса ($p_{x1}$, $p_{x2}$) и модуль импульса ($p_1$, $p_2$) в моменты времени $t_1$ и $t_2$.

б) Модуль изменения проекции импульса ($|\Delta p_x|$) за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$.

Решение:

а)

Проекция импульса тела на ось $\text{x}$ вычисляется по формуле: $p_x = m v_x$, где $\text{m}$ - масса тела, а $v_x$ - проекция его скорости на ось $\text{x}$. Модуль импульса для движения вдоль одной оси равен модулю его проекции: $p = |p_x|$.

Чтобы найти импульс в заданные моменты времени, сначала определим проекцию скорости тележки в эти моменты по графику. График зависимости $v_x(t)$ представляет собой прямую линию, что соответствует равноускоренному движению. Уравнение скорости имеет вид: $v_x(t) = v_{0x} + a_x t$.

Из графика находим начальную скорость (при $t=0$): $v_{0x} = -2$ м/с.

Найдем проекцию ускорения $a_x$, используя две точки на графике, например, $(t=0; v_x=-2)$ и $(t=40; v_x=0)$:

$a_x = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{0 \text{ м/с} - (-2 \text{ м/с})}{40 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{2}{40} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0.05$ м/с$^2$.

Таким образом, зависимость проекции скорости от времени имеет вид: $v_x(t) = -2 + 0.05t$.

Теперь найдем проекции скорости в моменты времени $t_1 = 20$ с и $t_2 = 100$ с:

При $t_1 = 20$ с:

$v_{x1} = -2 + 0.05 \cdot 20 = -2 + 1 = -1$ м/с.

При $t_2 = 100$ с:

$v_{x2} = -2 + 0.05 \cdot 100 = -2 + 5 = 3$ м/с.

Теперь можем вычислить проекции и модули импульса:

В момент времени $t_1 = 20$ с:

Проекция импульса: $p_{x1} = m v_{x1} = 3 \text{ кг} \cdot (-1 \text{ м/с}) = -3$ кг·м/с.

Модуль импульса: $p_1 = |p_{x1}| = |-3 \text{ кг·м/с}| = 3$ кг·м/с.

В момент времени $t_2 = 100$ с:

Проекция импульса: $p_{x2} = m v_{x2} = 3 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с} = 9$ кг·м/с.

Модуль импульса: $p_2 = |p_{x2}| = |9 \text{ кг·м/с}| = 9$ кг·м/с.

Ответ: В момент времени 20 с проекция импульса равна -3 кг·м/с, а модуль импульса равен 3 кг·м/с. В момент времени 100 с проекция импульса равна 9 кг·м/с, а модуль импульса равен 9 кг·м/с.

б)

Изменение проекции импульса тележки за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ равно разности проекций импульса в конечный и начальный моменты времени:

$\Delta p_x = p_{x2} - p_{x1}$.

Используя значения, найденные в пункте а):

$\Delta p_x = 9 \text{ кг·м/с} - (-3 \text{ кг·м/с}) = 9 + 3 = 12$ кг·м/с.

Модуль изменения проекции импульса равен:

$|\Delta p_x| = |12 \text{ кг·м/с}| = 12$ кг·м/с.

Ответ: 12 кг·м/с.