Номер 23, страница 139, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 13. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 23, страница 139.

Условие.

23. Бруску массой $200 \text{ г}$, находящемуся на длинной наклонной плоскости с углом наклона $30^\circ$, сообщили толчком начальную скорость $5 \text{ м/с}$, направленную вдоль наклонной плоскости вверх. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен 0,6.

а) Чему равен модуль импульса бруска сразу после толчка?

б) Чему равен модуль изменения импульса бруска за $0,3 \text{ с}$ после толчка?

в) Чему равен модуль изменения импульса бруска за $1 \text{ с}$ после толчка?

Решение 2.

Дано:

$m = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$
$\alpha = 30^\circ$
$v_0 = 5 \text{ м/с}$
$\mu = 0,6$
$t_1 = 0,3 \text{ с}$
$t_2 = 1 \text{ с}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

а) $p_0$ - ?
б) $|\Delta p_1|$ - ?
в) $|\Delta p_2|$ - ?

Решение:

а) Чему равен модуль импульса бруска сразу после толчка?

Модуль импульса $\text{p}$ тела массой $\text{m}$, движущегося со скоростью $\text{v}$, определяется по формуле $p = mv$. Сразу после толчка скорость бруска $v_0 = 5 \text{ м/с}$, а его масса $m = 0,2 \text{ кг}$. Тогда модуль начального импульса бруска равен:

$p_0 = m v_0 = 0,2 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с} = 1 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Ответ: $1 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

б) Чему равен модуль изменения импульса бруска за 0,3 с после толчка?

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса тела $\Delta p$ равно импульсу равнодействующей силы $F_{равн}$, действующей на тело: $\Delta p = F_{равн} \cdot \Delta t$.

Найдем равнодействующую силу, действующую на брусок при его движении вверх по наклонной плоскости. Направим ось OX вверх вдоль наклонной плоскости. На брусок действуют: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $\text{N}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$.

Сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N$ и проекция силы тяжести на ось OX $mg_x = mg \sin\alpha$ направлены против движения, то есть вниз вдоль наклонной плоскости.

Сила нормальной реакции опоры уравновешивает перпендикулярную к плоскости составляющую силы тяжести: $N = mg \cos\alpha$.

Тогда $F_{тр} = \mu mg \cos\alpha$.

Равнодействующая сила направлена вниз вдоль наклонной плоскости и по модулю равна:

$F_{равн} = F_{тр} + mg_x = \mu mg \cos\alpha + mg \sin\alpha = mg(\mu \cos\alpha + \sin\alpha)$

Подставим числовые значения:

$F_{равн} = 0,2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (0,6 \cdot \cos30^\circ + \sin30^\circ) = 2 \cdot (0,6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0,5) = 2 \cdot (0,3\sqrt{3} + 0,5) = 0,6\sqrt{3} + 1 \text{ Н} \approx 2,04 \text{ Н}$

Прежде чем находить изменение импульса, нужно убедиться, что за время $t_1 = 0,3 \text{ с}$ брусок не остановился. Время до остановки $t_{стоп}$ можно найти из уравнения скорости $v = v_0 - at$, где $a = F_{равн}/m$.

$t_{стоп} = \frac{v_0}{a} = \frac{m v_0}{F_{равн}} = \frac{1 \text{ кг}\cdot\text{м/с}}{0,6\sqrt{3} + 1 \text{ Н}} \approx \frac{1}{2,04} \approx 0,49 \text{ с}$

Так как $t_1 = 0,3 \text{ с} < t_{стоп} \approx 0,49 \text{ с}$, брусок все это время движется вверх, и равнодействующая сила постоянна.

Тогда модуль изменения импульса за $t_1 = 0,3 \text{ с}$ равен:

$|\Delta p_1| = F_{равн} \cdot t_1 = (0,6\sqrt{3} + 1) \cdot 0,3 = 0,18\sqrt{3} + 0,3 \approx 0,612 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Ответ: $\approx 0,61 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

в) Чему равен модуль изменения импульса бруска за 1 с после толчка?

Как было рассчитано выше, время движения бруска вверх до полной остановки составляет $t_{стоп} \approx 0,49 \text{ с}$. Заданный промежуток времени $t_2 = 1 \text{ с}$ больше, чем $t_{стоп}$.

Необходимо проверить, начнет ли брусок скользить вниз после остановки. Для этого сравним проекцию силы тяжести на наклонную плоскость $F_{||}$ с максимальной силой трения покоя $F_{тр.пок.макс}$. Будем считать, что коэффициент трения покоя равен коэффициенту трения скольжения $\mu = 0,6$.

Проекция силы тяжести: $F_{||} = mg \sin\alpha = 0,2 \cdot 10 \cdot \sin30^\circ = 1 \text{ Н}$.

Максимальная сила трения покоя: $F_{тр.пок.макс} = \mu N = \mu mg \cos\alpha = 0,6 \cdot 0,2 \cdot 10 \cdot \cos30^\circ = 1,2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,6\sqrt{3} \approx 1,039 \text{ Н}$.

Поскольку $F_{||} < F_{тр.пок.макс}$ ($1 \text{ Н} < 1,039 \text{ Н}$), брусок, остановившись, не начнет скользить вниз и останется в состоянии покоя.

Следовательно, в момент времени $t_2 = 1 \text{ с}$ скорость бруска равна нулю, а значит и его конечный импульс $p_2$ равен нулю.

Изменение импульса $\Delta p_2$ за время $t_2$ равно разности конечного и начального импульсов:

$\Delta p_2 = p_2 - p_0 = 0 - p_0 = -p_0$

Модуль изменения импульса равен модулю начального импульса:

$|\Delta p_2| = |-p_0| = p_0 = 1 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Ответ: $1 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.