Номер 18, страница 138, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 13. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 18, страница 138.

Условие.

18. Шар массой 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью 1 м/с.

а) Чему равен модуль изменения импульса шара за один период обращения?

б) Чему равен модуль изменения импульса шара за половину периода обращения?

в) Чему равен модуль изменения импульса шара за четверть периода обращения?

г) Как направлено изменение импульса шара за очень малый (по сравнению с периодом обращения) промежуток времени?

Решение 2.

Дано:

m = 1 кг

v = 1 м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

а) $|\Delta \vec{p}|$ за T

б) $|\Delta \vec{p}|$ за T/2

в) $|\Delta \vec{p}|$ за T/4

г) Направление $\Delta \vec{p}$ за малый $\Delta t$

Решение:

Импульс тела – это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: $\vec{p} = m\vec{v}$.

Изменение импульса $\Delta \vec{p}$ за некоторый промежуток времени равно разности конечного и начального импульсов: $\Delta \vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = m\vec{v}_2 - m\vec{v}_1 = m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1)$.

При равномерном движении по окружности модуль скорости $\text{v}$ остается постоянным, но направление вектора скорости $\vec{v}$ постоянно меняется.

а) Чему равен модуль изменения импульса шара за один период обращения?

За один полный период обращения ($\text{T}$) шар возвращается в исходную точку. Его конечная скорость $\vec{v}_2$ становится равной начальной скорости $\vec{v}_1$, так как совпадают и модуль, и направление вектора скорости.

Следовательно, изменение скорости равно нулю: $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = \vec{v}_1 - \vec{v}_1 = 0$.

Тогда изменение импульса также равно нулю: $\Delta \vec{p} = m \cdot \Delta \vec{v} = m \cdot 0 = 0$.

Модуль изменения импульса равен $|\Delta \vec{p}| = 0$.

Ответ: 0 кг·м/с.

б) Чему равен модуль изменения импульса шара за половину периода обращения?

За половину периода ($T/2$) шар окажется в диаметрально противоположной точке окружности. Вектор его скорости $\vec{v}_2$ будет иметь тот же модуль, что и начальный вектор скорости $\vec{v}_1$, но будет направлен в противоположную сторону: $\vec{v}_2 = -\vec{v}_1$.

Изменение скорости: $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = (-\vec{v}_1) - \vec{v}_1 = -2\vec{v}_1$.

Изменение импульса: $\Delta \vec{p} = m(\Delta \vec{v}) = m(-2\vec{v}_1) = -2m\vec{v}_1$.

Модуль изменения импульса: $|\Delta \vec{p}| = |-2m\vec{v}_1| = 2m|\vec{v}_1| = 2mv$.

Подставим числовые значения: $|\Delta \vec{p}| = 2 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с} = 2 \text{ кг·м/с}$.

Ответ: 2 кг·м/с.

в) Чему равен модуль изменения импульса шара за четверть периода обращения?

За четверть периода ($T/4$) шар пройдет дугу в 90°. Векторы начальной скорости $\vec{v}_1$ и конечной скорости $\vec{v}_2$ будут перпендикулярны друг другу ($ \vec{v}_1 \perp \vec{v}_2 $), а их модули равны: $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$.

Модуль разности векторов $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ можно найти по теореме Пифагора, так как векторы $\vec{v}_2$ и $-\vec{v}_1$ перпендикулярны. Модуль их векторной суммы (которая равна модулю разности $\vec{v}_2$ и $\vec{v}_1$) будет равен:

$|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_2 - \vec{v}_1| = \sqrt{|\vec{v}_2|^2 + |-\vec{v}_1|^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$.

Тогда модуль изменения импульса: $|\Delta \vec{p}| = m|\Delta \vec{v}| = mv\sqrt{2}$.

Подставим числовые значения: $|\Delta \vec{p}| = 1 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \text{ кг·м/с}$.

Ответ: $\sqrt{2}$ кг·м/с.

г) Как направлено изменение импульса шара за очень малый (по сравнению с периодом обращения) промежуток времени?

Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, изменение импульса тела $\Delta \vec{p}$ за промежуток времени $\Delta t$ связано с равнодействующей силой $\vec{F}$ соотношением: $\Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t$.

Из этого следует, что вектор изменения импульса $\Delta \vec{p}$ сонаправлен с вектором равнодействующей силы $\vec{F}$.

При равномерном движении тела по окружности равнодействующая всех сил, действующих на тело, является центростремительной силой. Эта сила всегда направлена к центру окружности.

Следовательно, за очень малый промежуток времени изменение импульса шара направлено к центру окружности.

Ответ: К центру окружности.