Номер 21, страница 139, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 13. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 21, страница 139.

Условие.

21. Камень массой $100 \text{ г}$ брошен под углом $30^{\circ}$ к горизонту со скоростью $20 \text{ м/с}$. Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

а) Через какой промежуток времени после броска модуль импульса камня принимает минимальное значение?

б) Чему равен модуль изменения импульса камня за промежуток времени, о котором говорится в предыдущем вопросе?

в) Чему равен модуль изменения импульса камня за всё время полёта?

Решение 2.

Дано:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$\alpha = 30°$

$v_0 = 20 \text{ м/с}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

а) $t_{p_{min}}$ - ?

б) $|\Delta \vec{p}_a|$ - ?

в) $|\Delta \vec{p}_{full}|$ - ?

Решение:

а) Модуль импульса камня определяется формулой $p = mv$. Так как масса камня $\text{m}$ постоянна, модуль импульса принимает минимальное значение, когда скорость камня $\text{v}$ минимальна.

Скорость тела, брошенного под углом к горизонту, в любой момент времени $\text{t}$ можно найти через её проекции на оси координат. Ось $OX$ направим горизонтально, а ось $OY$ – вертикально вверх. Начало координат — в точке броска.

Проекции скорости:

$v_x(t) = v_0 \cos \alpha$ (постоянна, так как нет сил в горизонтальном направлении)

$v_y(t) = v_0 \sin \alpha - gt$

Модуль скорости в момент времени $\text{t}$ равен $v(t) = \sqrt{v_x^2(t) + v_y^2(t)} = \sqrt{(v_0 \cos \alpha)^2 + (v_0 \sin \alpha - gt)^2}$.

Скорость будет минимальной, когда слагаемое $(v_0 \sin \alpha - gt)^2$ будет минимально. Минимальное значение этого слагаемого равно нулю. Это происходит, когда $v_y = 0$, то есть в наивысшей точке траектории. В этот момент скорость камня равна $v_{min} = v_x = v_0 \cos \alpha$.

Найдем время $t_{подъема}$, за которое камень достигнет наивысшей точки, из условия $v_y(t) = 0$:

$v_0 \sin \alpha - gt_{подъема} = 0$

$t_{подъема} = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}$

Подставим числовые значения:

$t_{подъема} = \frac{20 \text{ м/с} \cdot \sin 30°}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{20 \cdot 0.5}{10} = 1 \text{ с}$

Это и есть искомый промежуток времени.

Ответ: 1 с.

б) Модуль изменения импульса камня за время $t_{подъема}$ равен $|\Delta \vec{p}_a| = |\vec{p}_{кон} - \vec{p}_{нач}|$.

Начальный импульс: $\vec{p}_{нач} = m\vec{v}_0$. Его проекции: $p_{нач, x} = mv_0 \cos \alpha$, $p_{нач, y} = mv_0 \sin \alpha$.

Конечный импульс (в наивысшей точке): $\vec{p}_{кон} = m\vec{v}_{min}$. Его проекции: $p_{кон, x} = mv_0 \cos \alpha$, $p_{кон, y} = 0$.

Изменение импульса по осям:

$\Delta p_x = p_{кон, x} - p_{нач, x} = mv_0 \cos \alpha - mv_0 \cos \alpha = 0$

$\Delta p_y = p_{кон, y} - p_{нач, y} = 0 - mv_0 \sin \alpha = -mv_0 \sin \alpha$

Вектор изменения импульса $\Delta \vec{p}_a = (0, -mv_0 \sin \alpha)$. Его модуль равен:

$|\Delta \vec{p}_a| = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2} = \sqrt{0^2 + (-mv_0 \sin \alpha)^2} = mv_0 \sin \alpha$

Также можно воспользоваться вторым законом Ньютона в импульсной форме: $\Delta \vec{p} = \vec{F} \Delta t$. Единственная сила, действующая на камень, — это сила тяжести $\vec{F} = m\vec{g}$. Тогда модуль изменения импульса:

$|\Delta \vec{p}_a| = |m\vec{g}| \cdot t_{подъема} = mgt_{подъема}$

Подставим значения:

$|\Delta \vec{p}_a| = 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ с} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: $1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

в) Модуль изменения импульса камня за всё время полёта.

Время всего полёта $t_{полёта}$ равно удвоенному времени подъёма (из-за симметрии траектории):

$t_{полёта} = 2t_{подъема} = 2 \cdot 1 \text{ с} = 2 \text{ с}$

Используем второй закон Ньютона в импульсной форме: $\Delta \vec{p}_{full} = \vec{F} t_{полёта} = m\vec{g} t_{полёта}$.

Модуль изменения импульса:

$|\Delta \vec{p}_{full}| = mgt_{полёта}$

Подставим значения:

$|\Delta \vec{p}_{full}| = 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ с} = 2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Проверим другим способом. Начальная скорость $\vec{v}_{нач} = (v_0 \cos \alpha, v_0 \sin \alpha)$. Конечная скорость (в момент падения на землю) $\vec{v}_{кон} = (v_0 \cos \alpha, -v_0 \sin \alpha)$.

$\Delta \vec{p}_{full} = m\vec{v}_{кон} - m\vec{v}_{нач} = m(v_0 \cos \alpha, -v_0 \sin \alpha) - m(v_0 \cos \alpha, v_0 \sin \alpha) = (0, -2mv_0 \sin \alpha)$.

Модуль этого вектора:

$|\Delta \vec{p}_{full}| = 2mv_0 \sin \alpha = 2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 20 \text{ м/с} \cdot \sin 30° = 2 \cdot 0.1 \cdot 20 \cdot 0.5 = 2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Результаты совпадают.

Ответ: $2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.