Номер 20, страница 139, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 13. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 20, страница 139.

Условие.

20. Камень массой $200 \text{ г}$, брошенный под углом $30^\circ$ к горизонту с высоты $15 \text{ м}$, упал на землю через $3 \text{ с}$ после броска. Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

а) Чему равен модуль изменения импульса камня за первую секунду полёта? Как направлено изменение импульса?

б) Чему равен модуль изменения импульса камня за всё время его полёта?

в) Чему равна начальная скорость камня?

г) Чему равно минимальное значение модуля импульса камня во время полёта?

Решение 2.

Дано:

$m = 200$ г

$\alpha = 30^\circ$

$h_0 = 15$ м

$t_{пол} = 3$ с

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Перевод в систему СИ:

$m = 0.2$ кг

Найти:

а) $|\Delta\vec{p}_1|$, направление $\Delta\vec{p}_1$

б) $|\Delta\vec{p}_{пол}|$

в) $v_0$

г) $p_{min}$

Решение:

а) Чему равен модуль изменения импульса камня за первую секунду полёта? Как направлено изменение импульса?

Изменение импульса тела связано с импульсом силы через второй закон Ньютона в импульсной форме: $\Delta\vec{p} = \vec{F}\Delta t$. Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, на камень в полете действует только сила тяжести $\vec{F} = m\vec{g}$. Следовательно, изменение импульса за первую секунду ($\Delta t_1 = 1$ с) равно:

$\Delta\vec{p}_1 = m\vec{g}\Delta t_1$

Модуль изменения импульса:

$|\Delta\vec{p}_1| = mg\Delta t_1 = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ с} = 2 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Направление вектора изменения импульса совпадает с направлением вектора силы тяжести, то есть направлено вертикально вниз.

Ответ: Модуль изменения импульса равен $2 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$, направлен вертикально вниз.

б) Чему равен модуль изменения импульса камня за всё время его полёта?

Аналогично предыдущему пункту, изменение импульса за все время полета ($t_{пол} = 3$ с) определяется только действием силы тяжести:

$\Delta\vec{p}_{пол} = m\vec{g}t_{пол}$

Модуль изменения импульса:

$|\Delta\vec{p}_{пол}| = mgt_{пол} = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 3 \text{ с} = 6 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Ответ: $6 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

в) Чему равна начальная скорость камня?

Рассмотрим движение камня вдоль вертикальной оси OY, направленной вверх. Начало координат ($y=0$) разместим на земле. Тогда начальная координата камня $y_0 = h_0 = 15$ м. Зависимость координаты от времени имеет вид:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

где $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$ – начальная проекция скорости на ось OY. В момент падения на землю $t = t_{пол} = 3$ с, координата камня $y(t_{пол}) = 0$.

$0 = h_0 + v_0 \sin\alpha \cdot t_{пол} - \frac{gt_{пол}^2}{2}$

Выразим из этого уравнения начальную скорость $v_0$:

$v_0 \sin\alpha \cdot t_{пол} = \frac{gt_{пол}^2}{2} - h_0$

$v_0 = \frac{\frac{gt_{пол}^2}{2} - h_0}{t_{пол}\sin\alpha}$

Подставим числовые значения:

$v_0 = \frac{\frac{10 \cdot 3^2}{2} - 15}{3 \cdot \sin30^\circ} = \frac{\frac{90}{2} - 15}{3 \cdot 0.5} = \frac{45 - 15}{1.5} = \frac{30}{1.5} = 20 \text{ м/с}$

Ответ: $20 \text{ м/с}$.

г) Чему равно минимальное значение модуля импульса камня во время полёта?

Модуль импульса определяется формулой $p = mv$. Так как масса камня постоянна, импульс минимален, когда скорость камня минимальна. При движении тела, брошенного под углом к горизонту, горизонтальная составляющая скорости $v_x = v_0 \cos\alpha$ остается постоянной. Вертикальная составляющая $v_y = v_0 \sin\alpha - gt$ изменяется. Скорость $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ будет минимальна в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости $v_y$ равна нулю. Это происходит в верхней точке траектории.

Найдем время подъема до верхней точки: $t_{под} = \frac{v_0 \sin\alpha}{g} = \frac{20 \cdot \sin30^\circ}{10} = \frac{20 \cdot 0.5}{10} = 1$ с.

Так как $t_{под} = 1 \text{ с} < t_{пол} = 3$ с, камень достигает высшей точки траектории во время своего полета. В этот момент скорость камня минимальна и равна ее горизонтальной составляющей:

$v_{min} = v_x = v_0 \cos\alpha = 20 \cdot \cos30^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ м/с}$

Минимальное значение модуля импульса:

$p_{min} = mv_{min} = 0.2 \text{ кг} \cdot 10\sqrt{3} \text{ м/с} = 2\sqrt{3} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$

Ответ: $2\sqrt{3} \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.