Номер 25, страница 140, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 13. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 25, страница 140.

Условие.

25. Скользящая по льду шайба массой $160\text{ г}$ сталкивается с лежащим на льду куском льда массой $0,8\text{ кг}$ и отскакивает от него. Модуль скорости шайбы непосредственно перед столкновением $4\text{ м/с}$, а сразу после столкновения — $3\text{ м/с}$, причём скорость шайбы сразу после столкновения направлена под прямым углом к скорости шайбы непосредственно перед столкновением. Коэффициент трения между льдом и льдом равен $0,02$. Примите, что суммарный импульс шайбы и куска льда при их столкновении сохраняется.

a) Чему равен модуль изменения импульса шайбы?

б) Чему равен модуль скорости куска льда сразу после столкновения?

в) На каком расстоянии от места столкновения остановится кусок льда?

Решение 2.

Дано:

$m_1 = 160 \text{ г} = 0.16 \text{ кг}$

$m_2 = 0.8 \text{ кг}$

$v_1 = 4 \text{ м/с}$

$v_1' = 3 \text{ м/с}$

$\mu = 0.02$

$v_2 = 0 \text{ м/с}$

$\alpha = 90^\circ$ (угол между $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_1'$)

$g = 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

а) $|\Delta \vec{p}_1| - ?$

б) $v_2' - ?$

в) $s - ?$

Решение:

а) Чему равен модуль изменения импульса шайбы?

Импульс шайбы до столкновения равен $\vec{p}_1 = m_1\vec{v}_1$. Его модуль $p_1 = m_1 v_1$.
Импульс шайбы после столкновения равен $\vec{p}_1' = m_1\vec{v}_1'$. Его модуль $p_1' = m_1 v_1'$.
Изменение импульса шайбы – это векторная разность её конечного и начального импульсов: $\Delta \vec{p}_1 = \vec{p}_1' - \vec{p}_1$.
Поскольку по условию задачи векторы скорости шайбы до и после столкновения перпендикулярны ($\vec{v}_1 \perp \vec{v}_1'$), то и векторы импульса $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_1'$ также перпендикулярны.
Модуль изменения импульса можно найти по теореме Пифагора для векторов $\vec{p}_1'$ и $-\vec{p}_1$:
$|\Delta \vec{p}_1| = \sqrt{|\vec{p}_1'|^2 + |-\vec{p}_1|^2} = \sqrt{(p_1')^2 + (p_1)^2}$
$|\Delta \vec{p}_1| = \sqrt{(m_1 v_1')^2 + (m_1 v_1)^2} = m_1 \sqrt{(v_1')^2 + v_1^2}$
Подставим числовые значения:
$|\Delta \vec{p}_1| = 0.16 \cdot \sqrt{3^2 + 4^2} = 0.16 \cdot \sqrt{9 + 16} = 0.16 \cdot \sqrt{25} = 0.16 \cdot 5 = 0.8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
Ответ: $0.8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

б) Чему равен модуль скорости куска льда сразу после столкновения?

По условию, суммарный импульс шайбы и куска льда при их столкновении сохраняется. Запишем закон сохранения импульса для системы "шайба – кусок льда":
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{p}_1' + \vec{p}_2'$
где $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ — импульсы тел до столкновения, а $\vec{p}_1'$ и $\vec{p}_2'$ — после.
Поскольку кусок льда до столкновения покоился, его начальный импульс $\vec{p}_2 = m_2 \vec{v}_2 = 0$.
Тогда закон сохранения импульса принимает вид:
$\vec{p}_1 = \vec{p}_1' + \vec{p}_2'$
Выразим отсюда импульс куска льда после столкновения:
$\vec{p}_2' = \vec{p}_1 - \vec{p}_1' = -(\vec{p}_1' - \vec{p}_1) = -\Delta \vec{p}_1$
Модуль импульса куска льда равен модулю изменения импульса шайбы:
$|\vec{p}_2'| = |-\Delta \vec{p}_1| = |\Delta \vec{p}_1| = 0.8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
Импульс куска льда также равен $p_2' = m_2 v_2'$. Отсюда найдем его скорость $v_2'$:
$v_2' = \frac{p_2'}{m_2} = \frac{0.8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0.8 \text{ кг}} = 1 \text{ м/с}$.
Ответ: $1 \text{ м/с}$.

в) На каком расстоянии от места столкновения остановится кусок льда?

После столкновения кусок льда движется с начальной скоростью $v_2' = 1 \text{ м/с}$ и останавливается под действием силы трения скольжения. Его конечная скорость равна нулю.
На кусок льда действуют сила тяжести $m_2\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$.
В проекции на вертикальную ось: $N - m_2 g = 0$, откуда $N = m_2 g$.
Сила трения скольжения равна $F_{тр} = \mu N = \mu m_2 g$.
Согласно второму закону Ньютона, $m_2 \vec{a} = \vec{F}_{тр}$. В проекции на ось движения: $m_2 a = -F_{тр} = -\mu m_2 g$.
Отсюда ускорение (замедление) куска льда: $a = -\mu g$.
Для равноускоренного движения справедлива формула, связывающая начальную и конечную скорости, ускорение и пройденный путь: $v_{конечная}^2 - v_{начальная}^2 = 2as$.
В нашем случае $v_{конечная} = 0$, $v_{начальная} = v_2'$, $a = -\mu g$.
$0^2 - (v_2')^2 = 2(-\mu g)s$
$-(v_2')^2 = -2\mu g s$
$s = \frac{(v_2')^2}{2\mu g}$
Подставим числовые значения:
$s = \frac{1^2}{2 \cdot 0.02 \cdot 10} = \frac{1}{0.4} = 2.5 \text{ м}$.
Ответ: $2.5 \text{ м}$.