Номер 26, страница 150, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 14. Условия применения закона сохранения импульса - номер 26, страница 150.

Условие.

26. На полу стоит ящик с песком массой $\text{M}$. Пуля массой $\text{m}$, летящая горизонтально со скоростью, равной по модулю $\text{v}$, попадает в ящик и застревает в нём. Коэффициент трения между полом и ящиком равен $\mu$. Поставьте по этой ситуации три вопроса и найдите ответы на них.

Решение 2.

Дано:

Масса ящика с песком: $\text{M}$

Масса пули: $\text{m}$

Начальная скорость пули: $\text{v}$

Коэффициент трения между полом и ящиком: $\mu$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

1. Скорость ящика с пулей сразу после попадания ($\text{u}$)

2. Расстояние, которое пройдет ящик до полной остановки ($\text{S}$)

3. Количество теплоты, выделившееся при торможении ящика ($\text{Q}$)

Решение:

1. Найти скорость ящика с пулей сразу после попадания.

Рассмотрим систему тел «пуля + ящик». Попадание пули в ящик и застревание в нём является абсолютно неупругим ударом. Поскольку удар происходит за очень короткое время, действием внешних сил (силы трения) в момент удара можно пренебречь. Следовательно, для системы в проекции на горизонтальную ось выполняется закон сохранения импульса.

Импульс системы до взаимодействия (движется только пуля):

$p_{до} = m \cdot v$

Импульс системы после взаимодействия (пуля и ящик движутся как единое целое со скоростью $\text{u}$):

$p_{после} = (M + m) \cdot u$

Применяя закон сохранения импульса $p_{до} = p_{после}$:

$m \cdot v = (M + m) \cdot u$

Из этого уравнения выражаем искомую скорость $\text{u}$:

$u = \frac{m \cdot v}{M + m}$

Ответ: Скорость ящика с пулей сразу после попадания равна $u = \frac{m \cdot v}{M + m}$.

2. Найти расстояние, которое пройдет ящик до полной остановки.

После удара ящик с пулей начинает движение со скоростью $\text{u}$ и останавливается под действием силы трения. Для нахождения тормозного пути $\text{S}$ воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Изменение кинетической энергии системы равно работе всех действующих на нее сил. В данном случае работу совершает только сила трения.

Начальная кинетическая энергия системы (сразу после удара):

$E_{k, нач} = \frac{(M + m)u^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия системы (после остановки):

$E_{k, кон} = 0$

Изменение кинетической энергии:

$\Delta E_k = E_{k, кон} - E_{k, нач} = -\frac{(M + m)u^2}{2}$

Работа силы трения $A_{тр}$ на пути $\text{S}$ отрицательна, так как сила трения направлена против движения:

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot S$

Сила трения скольжения $F_{тр}$ определяется как $F_{тр} = \mu N$, где $\text{N}$ – сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной поверхности $N = (M + m)g$. Таким образом:

$F_{тр} = \mu (M + m)g$

Тогда работа силы трения равна:

$A_{тр} = -\mu (M + m)gS$

Согласно теореме об изменении кинетической энергии, $\Delta E_k = A_{тр}$:

$-\frac{(M + m)u^2}{2} = -\mu (M + m)gS$

Сокращая $(M + m)$ и знак минус, получаем:

$\frac{u^2}{2} = \mu gS$

Выражаем расстояние $\text{S}$:

$S = \frac{u^2}{2\mu g}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для скорости $\text{u}$, найденное в первом пункте:

$S = \frac{1}{2\mu g} \left(\frac{m v}{M + m}\right)^2 = \frac{m^2 v^2}{2\mu g (M + m)^2}$

Ответ: Расстояние, которое пройдет ящик до полной остановки, равно $S = \frac{m^2 v^2}{2\mu g (M + m)^2}$.

3. Найти количество теплоты, выделившееся при торможении ящика.

Количество теплоты $\text{Q}$, которое выделяется при торможении ящика, равно работе, совершенной силой трения (взятой по модулю). Согласно закону сохранения энергии, вся кинетическая энергия, которой обладала система «ящик + пуля» в начале своего движения, переходит во внутреннюю энергию (тепло) из-за работы силы трения.

Следовательно, выделившееся количество теплоты равно начальной кинетической энергии системы:

$Q = E_{k, нач} = \frac{(M + m)u^2}{2}$

Подставим выражение для скорости $\text{u}$ из первого пункта:

$Q = \frac{(M + m)}{2} \left(\frac{m v}{M + m}\right)^2 = \frac{(M + m) m^2 v^2}{2(M + m)^2}$

Сократив $(M + m)$, получаем окончательную формулу:

$Q = \frac{m^2 v^2}{2(M + m)}$

Ответ: Количество теплоты, выделившееся при торможении ящика, равно $Q = \frac{m^2 v^2}{2(M + m)}$.