Номер 8, страница 155, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава III. Законы сохранения в механике. Параграф 15. Реактивное движение. Освоение космоса - номер 8, страница 155.

Условие.

8. Стартовавшая с поверхности Земли двухступенчатая ракета массой 1 т в некоторый момент находится на высоте 1,5 км над поверхностью Земли и движется вверх со скоростью 3 км/с. В этот момент от ракеты «отстреливается» вертикально вниз относительно ракеты первая ступень, а скорость второй ступени возрастает при этом до 7,35 км/с. Первая ступень падает на землю через 30 с после отделения. Примите, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

a) Чему равна и как направлена скорость первой ступени относительно Земли сразу после отделения?

б) Чему равна масса первой ступени?

Решение 2.

Дано

Общая масса ракеты, $M = 1 \, т = 1000 \, кг$
Высота в момент отделения, $h = 1,5 \, км = 1500 \, м$
Скорость ракеты до отделения, $v = 3 \, км/с = 3000 \, м/с$
Скорость второй ступени после отделения, $v_2 = 7,35 \, км/с = 7350 \, м/с$
Время падения первой ступени, $t = 30 \, с$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \, м/с^2$

Найти:

a) $v_1$ - скорость первой ступени относительно Земли сразу после отделения.
б) $m_1$ - масса первой ступени.

Решение

a) Чему равна и как направлена скорость первой ступени относительно Земли сразу после отделения?

Рассмотрим движение первой ступени после отделения. Это движение тела, брошенного вертикально, под действием силы тяжести. Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Направим ось OY вертикально вверх, а начало отсчета поместим на поверхности Земли.

В момент отделения ($t_0=0$) первая ступень находится на высоте $h = 1500 \, м$ и имеет начальную скорость $v_1$ (которую нам нужно найти). Закон движения для первой ступени имеет вид: $y(t) = h + v_1 t - \frac{gt^2}{2}$

По условию, через время $t = 30 \, с$ первая ступень падает на Землю, то есть ее координата становится $y(30) = 0$. Подставим эти значения в уравнение: $0 = h + v_1 t - \frac{gt^2}{2}$

Выразим из этого уравнения искомую скорость $v_1$: $v_1 t = \frac{gt^2}{2} - h$ $v_1 = \frac{gt}{2} - \frac{h}{t}$

Подставим числовые значения в систему СИ: $v_1 = \frac{10 \, м/с^2 \cdot 30 \, с}{2} - \frac{1500 \, м}{30 \, с} = 150 \, м/с - 50 \, м/с = 100 \, м/с$

Поскольку значение скорости получилось положительным, а ось OY была направлена вверх, то скорость первой ступени сразу после отделения направлена вертикально вверх.

Ответ: 100 м/с, направлена вертикально вверх.

б) Чему равна масса первой ступени?

Процесс отделения ступени можно рассматривать как абсолютно неупругий взрыв. Для системы "ракета" (состоящей из двух ступеней) в этот момент выполняется закон сохранения импульса, так как время взаимодействия очень мало, и действием внешней силы (силы тяжести) можно пренебречь.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на вертикальную ось OY, направленную вверх. Импульс системы до отделения: $P_{до} = Mv$ Импульс системы после отделения: $P_{после} = m_1 v_1 + m_2 v_2$ где $m_1$ и $m_2$ — массы первой и второй ступени соответственно.

По закону сохранения массы: $M = m_1 + m_2$, откуда $m_2 = M - m_1$.

Приравниваем импульсы: $Mv = m_1 v_1 + m_2 v_2$ Подставим выражение для $m_2$: $Mv = m_1 v_1 + (M - m_1) v_2$

Раскроем скобки и выразим массу первой ступени $m_1$: $Mv = m_1 v_1 + Mv_2 - m_1 v_2$ $Mv - Mv_2 = m_1 v_1 - m_1 v_2$ $M(v - v_2) = m_1(v_1 - v_2)$ $m_1 = \frac{M(v - v_2)}{v_1 - v_2}$

Подставим числовые значения, используя скорость $v_1$, найденную в пункте а): $m_1 = \frac{1000 \, кг \cdot (3000 \, м/с - 7350 \, м/с)}{100 \, м/с - 7350 \, м/с} = \frac{1000 \cdot (-4350)}{-7250} = \frac{-4350000}{-7250} = 600 \, кг$

Ответ: 600 кг.