Номер 24, страница 83, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 34. Изменения агрегатных состояний вещества - номер 24, страница 83.

Условие.

24. Свинцовая пуля, летящая со скоростью $400 \text{ м/с}$, ударяется о стальную плиту и отскакивает от неё со скоростью $100 \text{ м/с}$. Примите, что изменение внутренней энергии пули составляет 0,6 от модуля изменения её механической энергии в результате удара о плиту. Какая часть массы свинца расплавится? Температуру пули до удара о плиту примите равной $50 ^\circ\text{C}$. Удельная теплота плавления свинца равна $25 \text{ кДж/кг}$.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость пули, $v_1 = 400 \text{ м/с}$
Конечная скорость пули, $v_2 = 100 \text{ м/с}$
Начальная температура пули, $t_1 = 50 \text{ °C}$
Коэффициент, $k = 0,6$
Удельная теплота плавления свинца, $\lambda = 25 \text{ кДж/кг}$

Справочные данные:
Удельная теплоемкость свинца, $c = 130 \text{ Дж/(кг·°C)}$
Температура плавления свинца, $t_{пл} = 327 \text{ °C}$

Перевод в систему СИ:
$\lambda = 25 \times 10^3 \text{ Дж/кг}$

Найти:

Часть массы свинца, которая расплавится, $\frac{m}{M} - ?$

Решение:

1. Вычислим изменение механической энергии пули в результате удара. Так как пуля движется горизонтально, ее потенциальная энергия не изменяется. Следовательно, изменение механической энергии равно изменению кинетической энергии.

Начальная кинетическая энергия пули: $E_{к1} = \frac{M v_1^2}{2}$.
Конечная кинетическая энергия пули: $E_{к2} = \frac{M v_2^2}{2}$,
где $\text{M}$ - масса пули.

Изменение кинетической энергии составляет: $\Delta E_к = E_{к2} - E_{к1} = \frac{M}{2}(v_2^2 - v_1^2)$.

Поскольку скорость пули уменьшилась ($v_1 > v_2$), ее механическая энергия убыла. Модуль изменения механической энергии равен: $|\Delta E_{мех}| = |\Delta E_к| = \frac{M}{2}(v_1^2 - v_2^2)$.

2. Согласно условию, изменение внутренней энергии пули $\Delta U$ составляет 0,6 от модуля изменения ее механической энергии: $\Delta U = k \cdot |\Delta E_{мех}| = 0,6 \cdot \frac{M}{2}(v_1^2 - v_2^2) = 0,3 M(v_1^2 - v_2^2)$.

3. Увеличение внутренней энергии пули идет на ее нагревание до температуры плавления и на частичное плавление. Количество теплоты $\text{Q}$, полученное пулей, можно представить как сумму двух компонент:

а) Количество теплоты $Q_1$, необходимое для нагревания всей пули массой $\text{M}$ от начальной температуры $t_1$ до температуры плавления $t_{пл}$: $Q_1 = c M (t_{пл} - t_1)$, где $\text{c}$ - удельная теплоемкость свинца.

б) Количество теплоты $Q_2$, необходимое для плавления части пули массой $\text{m}$: $Q_2 = \lambda m$, где $\lambda$ - удельная теплота плавления свинца.

Таким образом, общее количество теплоты равно: $Q = Q_1 + Q_2 = c M (t_{пл} - t_1) + \lambda m$.

4. По закону сохранения энергии, изменение внутренней энергии равно полученному количеству теплоты: $\Delta U = Q$
$0,3 M(v_1^2 - v_2^2) = c M (t_{пл} - t_1) + \lambda m$.

5. Нам нужно найти отношение массы расплавившегося свинца $\text{m}$ к общей массе пули $\text{M}$. Для этого разделим обе части полученного уравнения на $\text{M}$: $0,3 (v_1^2 - v_2^2) = c (t_{пл} - t_1) + \lambda \frac{m}{M}$.

Выразим искомое отношение $\frac{m}{M}$: $\lambda \frac{m}{M} = 0,3 (v_1^2 - v_2^2) - c (t_{пл} - t_1)$
$\frac{m}{M} = \frac{0,3 (v_1^2 - v_2^2) - c (t_{пл} - t_1)}{\lambda}$.

6. Подставим числовые значения в формулу: $\frac{m}{M} = \frac{0,3 \cdot ((400 \text{ м/с})^2 - (100 \text{ м/с})^2) - 130 \text{ Дж/(кг·°C)} \cdot (327 \text{ °C} - 50 \text{ °C})}{25 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг}}$

$\frac{m}{M} = \frac{0,3 \cdot (160000 - 10000) - 130 \cdot 277}{25000}$

$\frac{m}{M} = \frac{0,3 \cdot 150000 - 36010}{25000}$

$\frac{m}{M} = \frac{45000 - 36010}{25000}$

$\frac{m}{M} = \frac{8990}{25000} = 0,3596$.

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем, что расплавится примерно 0,36 (или 36%) массы пули.

Ответ: $\frac{m}{M} \approx 0,36$.